$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ i nieskończoność
Jedno pytanie:
- Jeśli definicja $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ i jest niepusty, to znaczy, że jego elementy należą do nieskończonego przecięcia $A_n$ lub jakiekolwiek skończone przecięcie $A_n$ dla wszystkich liczb naturalnych?
Aby bardziej szczegółowo rozwinąć, chciałbym pokazać, jak czuję się w stosunku do tej mylącej notacji $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Analiza zrozumienia Steven Abbott
Przykład 1.2.2, w którym definiuje $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Przez indukcję jest niepusty dla każdego skończonego przecięcia. Ale dowód przez zaprzeczenie może pokazać, że kiedy dochodzi do nieskończonego przypadku, który używa notacji$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, jest to zbiór zerowy. Innymi słowy, w tym przykładzie ten zapis jest używany do nieskończonego przecięcia.
Twierdzenie 1.4.1, w którym udowadnia zagnieżdżoną właściwość przedziału. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Tutaj nie określa, czy jest to nieskończone przecięcie, czy nie. Zamiast tego powiedział:$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Stąd to$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. Innymi słowy, w tym przykładzie ten zapis jest używany dla każdej skończonej liczby naturalnej
Twierdzenie 1.5.8 mówi, że jeśli$A_n$ jest policzalnym zestawem dla każdego $n\in N$, następnie $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$jest policzalna. Innymi słowy, w tym przykładzie ten zapis jest używany do nieskończonego przecięcia.
Jestem zdezorientowany tym zapisem w pewnym sensie, że zapis ten zawiera znak nieskończoności, ale jego definicja oznacza każdą liczbę naturalną. Dlatego za każdym razem, gdy go widzę, po prostu nie wiem, który zastosować.
Powiedz, czy pójdę w kierunku, w którym ma to zastosowanie $\forall n\in N$, to indukcja powinna działać, ponieważ indukcja robi dokładnie to samo! Chociaż ten post sugeruje inaczej, mówiąc, że notacja dotyczy nieskończoności .
Dobra, zmieniam kierunek, w którym chodzi o nieskończone przecięcie. Ale w niektórych przypadkach, na przykład ten, który wymieniłem powyżej, w jakiś sposób, jeśli coś ma zastosowanie do wszystkich liczb naturalnych, dobrze jest być częścią tego zapisu.
Krótko mówiąc, uważam, że ten zapis ma 2 sprzeczne znaczenia
- $\forall n\in N$
- Nieskończoność
Zrobiłem już wcześniej badania i zadawałem pytania, ale nadal nie rozumiem. Więc wydaje mi się, że w niektórych definicjach coś mi się nie zgadza.
Odpowiedzi
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$to zestaw. Jaki zestaw? Zbiór wszystkich rzeczy, które należą do każdego zestawu$A_n$ dla $n\in\Bbb Z^+$. Pozwolić$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; następnie$\bigcap\mathscr{A}$ oznacza dokładnie to samo. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ jest po prostu zwyczajowym zapisem, który nie oznacza ani więcej, ani mniej niż $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, i $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Nie ma$A_\infty$: the $\infty$ to tylko sygnał, że indeks $n$ polega na przyjęciu wszystkich dodatnich liczb całkowitych.
Załóżmy, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ Pozwoliłem $I_x$ być otwartym interwałem $(-x,x)$. Następnie$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych należących do każdego z tych otwartych przedziałów. Jeśli$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, następnie
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Skąd mam wiedzieć? Jeśli$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, następnie $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, więc jest co najmniej jeden członek $\mathscr{I}$ który nie zawiera $y$, a więc z definicji $y$ nie znajduje się na przecięciu zbiorów w rodzinie $\mathscr{I}$. Z drugiej strony,$0\in(-x,x)=I_x$ dla każdego $x\in\Bbb R^+$, więc $0$ znajduje się na skrzyżowaniu$\bigcap\mathscr{I}$.
W żadnym przypadku nigdzie nie używaliśmy indukcji. W przypadku zestawów$A_n$ moglibyśmy użyć indukcji na $n$ aby pokazać, że każdy z zestawów $A_n$ ma jakąś własność $P$, ale nie mogliśmy rozszerzyć tej indukcji, aby to pokazać $\bigcap\mathscr{A}$ ma $P$. Moglibyśmy jakoś wykorzystać fakt, że każdy$A_n$ posiada nieruchomość $P$ pokazać że $\bigcap\mathscr{A}$ też ma $P$, ale to wymagałoby oddzielnego argumentu; nie byłby częścią indukcji. Dowodziłby tego argument indukcyjny w tym przypadku
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
oddzielny argument wskazywałby wtedy, używając tego wyniku i innych faktów, że pojedynczy zbiór $\bigcap\mathscr{A}$ posiada nieruchomość $P$. Możesz nazwać ten zestaw$A_\infty$gdybyś chciał to zrobić, ale to byłaby tylko etykieta; równie dobrze można to nazwać$A$lub $X$, lub nawet $A_{-1}$, chociaż od ręki nie mogę sobie wyobrazić, dlaczego miałbyś chcieć używać tej ostatniej etykiety.
W przypadku zestawów $I_x$ nie ma możliwości wykorzystania indukcji, aby to wykazać $I_x$ ma pewną właściwość: te zestawy nie mogą być wymienione jako $I_1,I_2,I_3$i tak dalej, ponieważ jest ich niezliczona liczba. Nadal możemy udowodnić rzeczy na planie$\bigcap\mathscr{I}$, jednak. Moglibyśmy nadać mu dowolną wygodną etykietę.$\bigcap\mathscr{I}$zawiera informacje, ale może być trochę niewygodne; Mogę nadać mu bardziej poręczną etykietę$I$.
W przypadku $\mathscr{A}$ zdarza się, że istnieje zwyczajowa notacja, która używa symbolu $\infty$, ale jest to po prostu konsekwencja faktu, że zestawy $A_n$są indeksowane liczbami całkowitymi. Robimy dokładnie to samo w przykładzie z$\mathscr{I}$, ale w takim przypadku nie ma możliwości wykorzystania limitu $\infty$ na przecięciu, ponieważ nie ma możliwości indeksowania niezliczonych zbiorów $I_x$ liczbami całkowitymi.