Normalna vs Log normalna implikowana zmienność
Nawiązuję do wcześniejszej dyskusji w Skąd wiemy, czy zmienność notowana na rynku jest Normalna (model Bacheliera) czy normalna logarytmicznie (Czarny 76)?
W przypadku kursu krótkiego, czy istnieje jakaś przybliżona zależność między tymi dwoma typami zmienności , biorąc pod uwagę, że mamy kwotowanie log-normal.
Odpowiedzi
Pat Hagan dobrze to opisuje w słynnym artykule SABR Zarządzanie ryzykiem uśmiechu . Przybliżona zależność podana w równaniu (B.64) brzmi$$\sigma_N \approx \sigma_B \frac{f-K}{\ln f/K}\left(1-\frac{\sigma_B^2 T}{24}\right),$$ gdzie $\sigma_N$ jest normal (lub Bachelier) vol, $\sigma_B$ to zmienność Blacka-Scholesa, $f$ jest ceną terminową, $T$ czas opcji do zapadalności i $K$strajk opcji. W szczególności mamy do czynienia z pieniędzmi$\sigma_N \approx \sigma_B f$.
Istnieją bardzo szybkie algorytmy, które pozwalają na konwersję czarnego vol do normalnego (lub bp vol) vol z dokładnością zbliżoną do maszyny epsilon. Zaczynają się od ceny opcji, wystarczy użyć wzoru Blacka-Scholesa$\sigma_B$ aby go uzyskać.
Ten klasyczny artykuł autorstwa Patricka Hagana może ci pomóc: http://janroman.dhis.org/finance/Norm%20-%20LogNorm/Hagan%20Normvol.pdf