O twierdzeniu Tychonoffa

Question

Pozwolić $x_n:[0,1]\rightarrow E$ sekwencja wniosków, gdzie $E$jest przestrzenią znormalizowaną. Załóżmy, że dla każdego$t\in [0,1]$ $$\left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \} \text{ is weakly compact.}$$

Twierdzenie: Przez Twierdzenie Tichonowa , można dostać się, że:

$$\left \{ x_n(.):\; n\in \mathbb N\right \}=\prod_{t\in [0,1]} \left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \}$$ jest słabo zwarty $\mathcal{A}([0,1],E)$, gdzie $\mathcal{A}([0,1],E)$ jest przestrzenią zastosowania $[0,1]$ do $E$.

Problem : Lewa strona równości jest podzbiorem$\mathcal{A}([0,1],E)$, podczas gdy prawa strona jest podzbiorem $\{x_n([0,1]): n\in \mathbb N\}$!

Wiem, że poniższa aplikacja jest bijektywna $$\begin{matrix} \Phi: \mathcal{A}([0,1],E)& \rightarrow & E^{[0,1]}\\ x &\mapsto & \big(x(t)\big)_{t\in [0,1]} \end{matrix}$$

ale nie wiem jak go używać, jeśli jego homeomorfizm to mój problem będzie oczywisty.

Answer 1

Prawa strona (z definicji iloczynu nieskończonego) również znajduje się w$\mathcal{A}([0,1],E)$.

Twój $\Phi$to tożsamość. Nie ma nic do udowodnienia.

IMO, to notacja $\{x_n(\cdot): n \in \Bbb N\}$ to jest dziwne.