Exame final de cálculo do MIT

Encontrei esse problema no exame final de prática de 18.01, outono de 2003 . Como você resolveria essa integral?

Ao lidar com um integrando que consiste em um produto de duas funções, uma técnica comum é a integração por partes .

A ideia é que queremos escolher u como a função fácil de diferenciar; e dv como a função fácil de integrar.

Neste caso, queremos pegar u como o inverso da função seno ; dv como xdx .

Agora que temos a derivada e a antiderivada de u e dv , vamos substituí-los na fórmula por partes.

Você vê a mágica da técnica por partes agora? Inicialmente, tivemos que encontrar a antiderivada da inversa da função seno, enquanto estamos preocupados apenas com um integrando mais simples à direita.

Para resolver a integral à direita, podemos realizar uma substituição trigonométrica .

Escolhemos x = sin(u) .

Podemos simplificar ainda mais a integral à direita aplicando a identidade pitagórica .

O denominador torna-se 2 vezes a raiz quadrada de cos²(u) , o que resulta na expressão acima.

Lembre-se de seu estudo de trigonometria da seguinte fórmula.

A integral que temos que calcular simplifica ainda mais.

Após a integração, obtemos o seguinte.

Antes de substituirmos u de volta em nossa integral original, vamos descobrir o que é sin(2u) em termos de x .

Espero que você entenda como fazemos isso.

Vamos colocar tudo isso de volta na integral.

Finalmente, nossa integral é

E esse é um bom lugar para parar.

Resumindo, começamos com a integração por partes escolhendo o u e dv adequados . Em seguida, procedemos com uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Finalmente, completamos nossa substituição trigonométrica desenhando um triângulo retângulo para que possamos reescrever a integral em termos de x .

Obrigado por ler. Não se esqueça de aplaudir o artigo se achar que é perspicaz.

Você também pode me apoiar com ko-fi ☕ .