Para saber mais sobre a história e a construção da curva, confira este artigo ! Se você for corajoso o suficiente para resolver o desafio, continue lendo!

Construção e Desafio

A figura acima mostra um círculo de raio a centrado no ponto C = (0, a) .

Os pontos (x, y) são obtidos da seguinte maneira: desenhe uma linha do ponto O = (0, 0) a qualquer ponto da linha y = 2a .

Denote este ponto por B . A linha traçada intercepta o círculo no ponto A .

Desenhe uma linha horizontal passando por A e uma linha vertical passando por B.

O ponto onde essas duas linhas se cruzam é ​​o ponto (x, y) .

Você consegue encontrar a área entre a bruxa e sua linha assintótica? Essa é a área entre a curva vermelha e o eixo x?

Parte 1: Equações Paramétricas

Para calcular a área necessária como uma integral, primeiro precisamos encontrar as equações paramétricas para pontos (x, y) em termos do ângulo θ , onde θ é o ângulo entre o eixo y positivo e a linha OB .

Observe que o diâmetro do círculo é 2a .

O raio, desde a origem até C , é portanto a . Para um ponto arbitrário y na curva vermelha, seu comprimento é a mais o comprimento de CD .

O que é CD em termos de a e θ ?

Portanto, a coordenada y pode ser parametrizada da seguinte forma.

E a coordenada x ?

Portanto, a coordenada x pode ser parametrizada da seguinte forma.

Podemos manipular ainda mais nossa expressão e chegar à seguinte parametrização.

Parte 2: Resolvendo para y

Para representar a área como uma integral, queremos estabelecer uma função y em termos de x com base nas equações paramétricas acima.

Primeiro começamos manipulando x .

Então resolvemos para y , nos dando o seguinte.

Parte 3: Uma Integral Imprópria

Como a área se estende do infinito negativo até o infinito positivo, montamos a seguinte integral.

Tente calcular essa integral você mesmo antes de continuar lendo!

Para resolver essa integral, começamos com a seguinte substituição.

Após a substituição, transformamos nossa integral no seguinte.

Simplificamos a fração e retiramos o fator 4a² .

E esse é um bom lugar para parar.

(Confira nosso gráfico de arctan(x) para avaliar os limites!)

A bruxa de Agnesi: o mistério de uma curva matemática fascinante

Obrigado por ler. Não se esqueça de aplaudir o artigo se achar que é perspicaz.

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