bijection อย่างต่อเนื่อง $f: X \to Y$ จากพื้นที่ขนาดกะทัดรัด $X$ ไปยังพื้นที่ Hausdorff $Y$

Aug 20 2020

สมมติ $X$ เป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัดและ $Y$ Hausdorff เป็นเช่นนั้น $f: X \to Y$เป็นการคาดเดาอย่างต่อเนื่อง ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง

(ผม) $f$ เปิด.

(II) $f$ เป็น homeomorphism ในท้องถิ่น

(สาม) $f^{-1}$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง

ข้อสังเกตและคำถาม:

  1. $Y$ มีขนาดกะทัดรัดเนื่องจากภาพต่อเนื่องของชุดขนาดกะทัดรัดมีขนาดกะทัดรัดเสมอ

  2. ตั้งแต่ $f$ ต่อเนื่องเป็นภาพก่อนหน้าของทุกชุดที่เปิดอยู่ $Y$ เป็นชุดเปิดใน $X$. แต่เรามั่นใจได้หรือไม่ว่าทุกชุดที่เปิดอยู่$X$ ถูกจับคู่กับชุดเปิดใน $Y$ โดย $f$เหรอ? ทำไมหรือทำไมไม่?

  3. homeomorphism ในท้องถิ่นเป็นคำใหม่สำหรับฉัน Wikipedia บอกว่า$f$ เป็น homeomorphism ในท้องถิ่นหากทุกจุด $X$ มีพื้นที่ใกล้เคียง (ชุดเปิดที่มีจุด) ที่เป็น homeomorphic ของชุดย่อยที่เปิดอยู่ $Y$. ฉันไม่แน่ใจว่า$f$เป็น homeomorphic ในท้องถิ่นหรือไม่ ความคิดใด ๆ ?

  4. สำหรับ $f^{-1}$ เพื่อให้มีความต่อเนื่องเราจำเป็นต้องมีภาพก่อนหน้าของทุกชุดที่เปิดอยู่ใน $X$ เป็นชุดเปิดใน $Y$ ภายใต้ $f^{-1}$. สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้หรือไม่$f$เป็นแผนที่เปิด? ฉันคิดอย่างนั้น ถ้า$f$ เปิดอยู่ทุกชุดที่เปิดอยู่ $X$ ถูกจับคู่กับชุดเปิดใน $Y$. และตั้งแต่นั้นมา$f$ เป็นภาพต่อเนื่องก่อนภาพ (ภาพด้านล่าง $f^{-1}$) ของทุกชุดที่เปิดใน $Y$ เป็นชุดเปิดใน $X$. ดังนั้นถ้า$f$ เปิดอยู่ชุดเปิดใน $X$ และ $Y$ จะมีอคติและจำเป็น $f^{-1}$จะต่อเนื่อง ดังนั้นฉันคิดว่าถ้า (I) เป็นจริง (III) ตามมาทันที ถูกต้องหรือไม่

คำตอบ

1 HennoBrandsma Aug 20 2020 at 05:26

ฉันเป็นจริง $f$ปิดตามที่ฉันแสดงไว้ที่นี่สั้น ๆ :$C \subseteq X$ ปิดหมายถึง $C$ กะทัดรัดดังนั้น $f[C]$ ขนาดกะทัดรัดและส่วนย่อยของพื้นที่ Hausdorff ถูกปิดดังนั้น $f[C]$ ถูกปิด.

และอคติเชื่อฟัง $f[X\setminus O]=Y\setminus f[O]$ ดังนั้นเมื่อ $O \subseteq X$ เปิด, $ X\setminus O$ ถูกปิดดังนั้นภาพจึงถูกปิดและอื่น ๆ $f[O]= Y\setminus f[X\setminus O]$ เปิดให้บริการใน $Y$.

ดังนั้น $f$ เป็น bijection ต่อเนื่องแบบเปิด (และปิด) ดังนั้น homeomorphism (ถ้า $g: Y \to X$ คือแผนที่ผกผัน $g^{-1}[O]=f[O]$ เปิดให้บริการใน $Y$ สำหรับการเปิดทั้งหมด $O$ ใน $X$. III ก็ถือเช่นกัน

II เป็นเรื่องเล็กน้อยเพราะเราทำได้สำหรับแต่ละคน $x \in X$ ใช้เวลา $X$ เป็นบ้านใกล้เรือนเคียง $Y$ (ซึ่งเป็นย่านที่ไม่สำคัญของ $f(x)$). homeomorphism เป็นสิ่งที่ไม่สำคัญในท้องถิ่น homeomorphism

ดังนั้นทั้งหมดจึงเป็นไปตามความจริงที่เรามีอยู่แล้วแม้จะไม่มีอคติ แต่ก็มีความต่อเนื่อง: $f$ เป็นแผนที่ปิด