Bredon cohomology ของการกระทำการเปลี่ยนแปลงบน $S^3$

Question

ฉันเคยเห็นคำถามที่คล้ายกันสองสามข้อที่ขอให้ตรวจสอบการคำนวณของ Bredon cohomology ที่นี่และที่นี่ดังนั้นฉันจะถามคำถามนั้นด้วยตัวเอง

ปล่อย $\mathbb{Z}/2$ ดำเนินการ $S^3\subset \mathbb{C}^2$ โดยการ จำกัด การดำเนินการเรียงสับเปลี่ยนบน $\mathbb{C}^2.$ ฉันต้องการคำนวณ cohomology ของ Bredon $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$

ฉันมีการสลายตัวของเซลล์โดยอาศัยการสลายตัวของคอมเพล็กซ์ $1$- มิติข้อมูลใน $3$ เซลล์: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ ที่นี่ $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ และ $D$ คือการตกแต่งภายในของ $\mathbb{D}.$ จากนั้นเราจะมีการสลายตัวของ $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ ลงในเซลล์ที่เข้ากันได้กับไฟล์ $\mathbb{Z}/2$ หนังบู๊.

ชุดจุดคงที่ของการกระทำคือวงกลมที่กำหนดโดย $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ ตั้งแต่ประเภทวงโคจรของ $\mathbb{Z}/2$ ประกอบด้วย $*$ และ $\mathbb{Z}/2$ มีโซ่เทียบเท่าดังต่อไปนี้: \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {เซลล์ที่ตรงกับ} \ ขีดเส้นใต้ {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ ขีดเส้นบน {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ คูณ D \\ \ hline \ end {array}

ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าโคโซ่มีมูลค่า $\underline{\mathbb{Z}}$ คือ:

\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array}ตั้งแต่$(T\times T)^*=0$ ในโคเชนเรามี $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ ดิฟเฟอเรนเชียล $d_1$ เป็น isomorphism ตั้งแต่ $\partial(D\times *)=T\times *.$ ดูเหมือนว่า $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$

มันค่อนข้างแปลกสำหรับฉันที่ผลหารเป็นรูปทรงกลมที่คล้ายคลึงกัน ได้เลยกลุ่ม$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ เนื่องจากการวางแนวถูกเก็บรักษาไว้ แต่ฉันอาจพลาดไปบ้าง $2$- แรงบิดในองศาที่ต่ำกว่า?

Answer 1

คำตอบสุดท้ายของคุณถูกต้อง แต่โครงสร้างเซลล์ที่คุณใช้ไม่ใช่ไฟล์ $G$-CW โครงสร้าง: $T\times T$ ไม่สามารถใช้เป็นเซลล์ด้วยวิธีนี้

ฉันจะเข้าใกล้สิ่งนี้: การกระทำของ $G = {\mathbb Z}/2$ บน $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ สามารถเขียนเป็นตัวแทน $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, ที่ไหน $G$ ทำหน้าที่เล็กน้อย $\mathbb{C}$ และโดยการปฏิเสธเมื่อ $\mathbb{C}^\sigma$. ทรงกลม$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ ยังเป็นการกระชับจุดเดียว $S^{1+2\lambda}$, ที่ไหน $\lambda$ หมายถึงเส้นจริงด้วย $G$แสดงโดยการปฏิเสธ นี้มีไฟล์$G$-CW โครงสร้างด้วย

1. หนึ่ง $G$- แก้ไข 0 เซลล์
2. หนึ่ง $G$- คงที่ 1 เซลล์
3. หนึ่ง $G$ฟรี 2 เซลล์และ
4. หนึ่ง $G$- ฟรี 3 เซลล์

เพื่อให้โครงกระดูกเป็น $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$และ $S^{1+2\lambda}$. จากตรงนี้คุณสามารถสรุปได้ว่าไฟล์$\underline{\mathbb{Z}}$-cochain complex คือ $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$

วิธีตรวจสอบว่าคำตอบนั้นถูกต้องคือการเขียน $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ จากนั้นใช้การคำนวณที่รู้จักของ $RO(G)$cohomology ของจุดที่ได้รับการอัพเกรด (เดิมเกิดจาก Stong (ไม่ได้เผยแพร่) เนื่องจากเผยแพร่ในที่ต่างๆ)