บูรณาการของ $2$- สร้างทรงกลมโดยใช้การฉายภาพสามมิติ

Jan 11 2021

ปล่อย $\omega$ เป็น $2$ แบบฟอร์ม $\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$ บน $S^2$. ฉันต้องการรวม$\int_{S^2} \omega$ โดยใช้คำจำกัดความด้วยการฉายภาพสามมิติ ${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$ ให้โดย $$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$ แล้ว $$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$ ฉันดำเนินการคำนวณ ${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$. มันคือ$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$ ตัวอย่างเช่น $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ และในทำนองเดียวกัน $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ และ $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$ ตอนนี้เราคำนวณผลิตภัณฑ์ภายนอก: $$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$ ดังนั้น $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$ถ้าฉันไม่ได้มีความผิดพลาดใด ๆ แต่ฉันจะดำเนินการกับสำนวนนี้ได้อย่างไร? ในทางกลับกันฉันรู้ว่าอินทิกรัลควรเป็น$4 \pi$.

คำตอบ

2 ElliotYu Jan 11 2021 at 04:28

ผลลัพธ์ของคุณจนถึงตอนนี้ถูกต้องทั้งหมด ในการดำเนินการต่อคุณต้องมีความกระตือรือร้นในการขยายนิพจน์ทั้งหมดให้น้อยลง แต่เลือกที่จะแยกตัวประกอบให้มากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งผลสำหรับ$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$สามารถแยกตัวประกอบได้ ตัวเศษเป็นเพียง$4(u^2+v^2-1)^2$. เมื่อคุณเพิ่มการดึงกลับของอีกสองคำคุณกำลังเพิ่ม$16(u^2+v^2)$ไปยังตัวเศษ ดังนั้นคุณจะได้รับ$4(u^2+v^2+1)^2$ซึ่งจะยกเลิกอย่างเรียบร้อยด้วยตัวส่วน

หรือหากคุณคุ้นเคยกับการขยายไฟล์ $(x+y+z)^2$คุณสามารถรับรู้ได้ทันทีว่าตัวเศษของผลลัพธ์สุดท้ายของคุณคือ $4(u^2+v^2+1)^2$.

ในการดำเนินการกับอินทิกรัลคุณสามารถแปลงอินทิกรัลเป็นพิกัดเชิงขั้วในไฟล์ $uv$- เครื่องบินหรือทำด้วยการแทนที่ตรีโกณมิติ วิธีการเดิมนั้นง่ายกว่าโดยไกล