จาค็อบสันหัวรุนแรงของแหวนพหุนาม
คำจำกัดความ: Let$M$ ถั่ว $R$โมดูล. จากนั้นจาค็อบสันหัวรุนแรงของ$M$ แสดงโดย $J_R(M)$ และกำหนดให้เป็นจุดตัดของโมดูลย่อยสูงสุดทั้งหมดของ $M$. ถ้า$M$ ไม่มีโมดูลย่อยสูงสุดแล้ว $J_R(M)=M$.
ปล่อย $R$ เป็นวงแหวนสับเปลี่ยนและ $S=R[x]$เป็นแหวนพหุนาม เรารู้ว่าจาค็อบสันหัวรุนแรงของ$S$ คือ $Nil(R)[x]$ เมื่อไหร่ $S$ ถูกนำมาเป็น $S$โมดูล. กล่าวคือ$J_S(S)=Nil(R)[x]$.
คำถามของฉัน: จาค็อบสันหัวรุนแรงจะเป็นอย่างไร$S$ เมื่อไหร่ $S$ ถูกนำมาเป็น $R$โมดูล? กล่าวคือ$J_R(S)=?$
โปรดช่วยฉันด้วย ฉันจะขอบคุณคุณเป็นอย่างสูง
คำตอบ
ก่อนอื่นโปรดทราบว่า $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ เช่น $R$-โมดูล. ยิ่งไปกว่านั้น jacobson radical ยังรักษาผลรวมโดยตรงด้วยเหตุนี้$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ นั่นคือโมดูลย่อยของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ใน $J_R(R)$.
เพื่อพิสูจน์ว่าหัวรุนแรงจาค็อบสันสื่อสารกับผลรวมโดยตรงของโมดูลอันดับแรกโปรดทราบว่าทุกๆ $R$-module homomorphism $\varphi:M\to N$ แผนที่ $J_R(M)$ เป็น $J_R(N)$. นำสิ่งนี้ไปใช้กับการคาดคะเนมาตรฐาน$\bigoplus_iM_i\to M_i$ ให้ $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. ในทำนองเดียวกันโดยพิจารณาจากการรวมตามบัญญัติ$M_i\to\bigoplus_iM_i$ เราได้รับการรวมย้อนกลับ $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.