จะทราบได้อย่างไรว่าสิ่งเหล่านี้เหมือนกันหรือไม่?
ในบทความวิกิพีเดียสำหรับสมการลูกบาศก์สามารถหารากได้โดย:
$-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\Delta_0}{C})$
ที่ไหน $\Delta_0=b^2-3ac$ และ $C=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1\pm\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}$. นอกจากนี้$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$.
ในเว็บไซต์อื่นมีโซลูชันรูทอื่น:
$$\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}$$
ฉันได้ใส่ความหลังไว้ในWolphram | Alphaเพื่อประเมินมัน ที่$\Delta_1$สามารถมองเห็นได้ในนั้น แต่ฉันไม่รู้ว่าจะหาได้อย่างไรและวิธีแก้ปัญหาก่อนหน้านี้ก็เหมือนกัน
คำตอบ
กำหนด:
$$\begin{align*} x_N &= -\dfrac{b}{3a} \quad \text{(average of all 3 roots, x-value of inflection point)} \\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} \quad \mathrm{(x \; distance^2 \; from \;} x_N \; \text{to the 2 turning points)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a} +d \quad \text{(y-value of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \mathrm{(y \; distance \; from \;} y_N \; \text{to the 2 turning points)} \\ \end{align*}$$
(ดูรูปที่ 1 ในบทความนี้โดย Nickalls: http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf)
นิพจน์ที่สองที่คุณนำเสนอสามารถเขียนเป็น
$$x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N - \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } $$
หรือสำหรับ $h \ne 0$,
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$
ในนิพจน์แรกที่คุณนำเสนอเรามี
$$\begin{align*} \Delta_0 & = 9a^2 \delta^2 \\ \\ \Delta_1 &= 27a^2 y_N \\ \\ C &= -3a \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N \mp \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }\\ \end{align*}$$
ดังนั้นการแสดงออกจึงกลายเป็น
$$ x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \dfrac{\delta^2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }}$$
หรือสำหรับ $h \ne 0$,
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} }\right) $$
ซึ่งหลังจากคูณตัวเศษและตัวส่วนของเทอมสุดท้ายนั้นในวงเล็บด้วย $$\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }}$$
กลายเป็น
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$
ใช่แล้วนิพจน์สองนิพจน์สำหรับรากของลูกบาศก์ที่คุณพบมีค่าเท่ากัน
ตอนนี้ฉันขอแนะนำให้คุณทิ้งวิธีแก้ปัญหาคลาสสิกทั้งหมดสำหรับรากของลูกบาศก์และเรียนรู้แนวทางของ Nickalls ตามที่ Nickalls นำเสนอและสร้างขึ้นโดย Holmes:
http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf
https://users.math.msu.edu/users/newhous7/math_235/lectures/cubic_gc_holmes.pdf