จำกัด การใช้ส่วนขยายของ Taylor: เราขยายคำศัพท์ใด

Aug 20 2020

ฉันต้องการตรวจสอบวงเงิน $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )}$ โดยใช้ส่วนขยายของ Taylor

ฉันได้ทำสิ่งต่อไปนี้แล้ว: $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{(n-1)^2}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n-1)^n}{\left (n^2+1\right )^{\frac{n}{2}}}$$

เราต้องเขียนส่วนขยายเทย์เลอร์ในระยะใด

คำตอบ

1 user Aug 20 2020 at 18:19

เรามีสิ่งนั้น

$$\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}=1-\frac{2n}{n^2+1}$$

จากนั้นเราสามารถเริ่มโดยลำดับการขยายตัวของเทย์เลอร์ก่อน $\log(1+x)$ ที่จะได้รับ

$$\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right )=-\frac{2n}{n^2+1}+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

แล้ว

$$\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\text{exp}\left( -\frac{n^2}{n^2+1}+O\left(\frac1{n}\right)\right)\to e^{-1}$$

จากนั้นในกรณีนี้การขยายคำสั่งแรกจะเพียงพอ

โดยทั่วไปไม่มีวิธีการกำหนดลำดับเบื้องต้นที่เราต้องขยายไป แต่หลังจากการฝึกฝนบางอย่างมันก็ค่อนข้างง่ายสำหรับขีด จำกัด มาตรฐาน

2 enzotib Aug 20 2020 at 16:36

ขยายลอการิทึม $$ \ln\left(\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right)=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right)=-\frac{2n}{n^2+1}+\ldots $$