จำกัด การใช้ส่วนขยายของ Taylor: เราขยายคำศัพท์ใด
ฉันต้องการตรวจสอบวงเงิน $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )}$ โดยใช้ส่วนขยายของ Taylor
ฉันได้ทำสิ่งต่อไปนี้แล้ว: $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{(n-1)^2}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n-1)^n}{\left (n^2+1\right )^{\frac{n}{2}}}$$
เราต้องเขียนส่วนขยายเทย์เลอร์ในระยะใด
คำตอบ
เรามีสิ่งนั้น
$$\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}=1-\frac{2n}{n^2+1}$$
จากนั้นเราสามารถเริ่มโดยลำดับการขยายตัวของเทย์เลอร์ก่อน $\log(1+x)$ ที่จะได้รับ
$$\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right )=-\frac{2n}{n^2+1}+O\left(\frac1{n^2}\right)$$
แล้ว
$$\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\text{exp}\left( -\frac{n^2}{n^2+1}+O\left(\frac1{n}\right)\right)\to e^{-1}$$
จากนั้นในกรณีนี้การขยายคำสั่งแรกจะเพียงพอ
โดยทั่วไปไม่มีวิธีการกำหนดลำดับเบื้องต้นที่เราต้องขยายไป แต่หลังจากการฝึกฝนบางอย่างมันก็ค่อนข้างง่ายสำหรับขีด จำกัด มาตรฐาน
ขยายลอการิทึม $$ \ln\left(\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right)=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right)=-\frac{2n}{n^2+1}+\ldots $$