จำนวนวิธีในการกระจายลูกบอลสีแดงที่เหมือนกัน 3 ลูกและลูกบอลสีขาวที่เหมือนกัน 3 ลูกระหว่างกล่องที่แตกต่างกัน 3 กล่องไม่มีกล่องว่างเปล่า?
ดังที่ได้กล่าวไว้ในชื่อเรื่องเราจำเป็นต้องคำนวณจำนวนวิธีที่สามารถกระจายลูกบอลสีแดงที่เหมือนกัน 3 ลูกและลูกบอลสีขาวที่เหมือนกัน 3 ลูกในระหว่าง 3 กล่องที่แตกต่างกันเพื่อให้ไม่มีกล่องว่างเปล่า
มีคำถามที่คล้ายกันสองสามคำถามที่ถาม แต่ไม่มีคำถามใดที่ตอบคำถามนี้ได้อย่างสมบูรณ์ (ตามความรู้ของฉัน)
ฉันพยายามเข้าใกล้สิ่งนี้โดยการทำบางกรณีซึ่งได้ผลจริง แต่ฉันไม่สามารถสร้างแนวทางทั่วไปสำหรับพูด n วัตถุที่เหมือนกันของประเภทหนึ่งและวัตถุที่เหมือนกันของอีกประเภทหนึ่งในกล่องที่แตกต่างกัน
คำตอบ
ในตอนเริ่มต้นเรามี $6$ลูกบอลสีขาว เราสามารถมี$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, หรือ $\{2,2,2\}$ ลูกบอลในกล่องด้วย $3$, $6$, $1$ลำดับที่แตกต่างกันในสามกรณี ตอนนี้เราวาดลูกบอลสามในหกสีแดง ใน$\{4,1,1\}$ ในกรณีที่เราสามารถวาดสามใน $4$ สีแดง ($1$ ทาง) สองทาง $4$ สีแดง ($2$ วิธี) หรือหนึ่งใน $4$ สีแดง ($1$ทาง); ทำให้$4$วิธี ใน$\{3,2,1\}$ ในกรณีที่เราสามารถวาดทั้งสามไฟล์ $3$ สีแดง ($1$ ทาง) สองในสามสีแดง ($2$ วิธี) หนึ่งใน $3$ สีแดง ($2$ วิธี) หรือไม่มีเลย $3$ สีแดง ($1$ทาง); ทำให้$6$วิธี ใน$\{2,2,2\}$ กรณีที่เราสามารถทำได้ $2$ และ $1$ ลูกบอลสีแดงในกล่องต่าง ๆ ($6$ วิธี) หรือลูกบอลสีแดงหนึ่งลูกในแต่ละกล่อง ($1$ทาง); ทำให้$7$ วิธี
โดยรวมแล้วมี $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ การแจกแจงที่ยอมรับได้ต่างกัน
กรณีก. 4 ลูกในช่องแรก
- ในกล่องเราจะพบลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีขาว 1 ลูกหรือสีขาว 3 ลูกและสีแดง 1 ลูก ซึ่งหมายถึงการจัดเรียงหนึ่งช่องสำหรับกล่องที่สองและสาม ผลรวมย่อย: 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- ในกล่องเราจะพบลูกบอลสีแดง 2 ลูกและลูกบอลสีขาว 2 ลูก ซึ่งหมายถึงการจัดเรียงที่เป็นไปได้สองรายการสำหรับกล่องที่สองและสาม ผลรวมย่อย: 2 การเรียงสับเปลี่ยน
ทั้งหมด: 4 การเรียงสับเปลี่ยน
กรณีข. 3 ลูกในช่องแรก.
- 3 สีแดงหรือ 3 สีขาว ซึ่งหมายถึงผู้จัดเรียง 2 คนในกล่องอื่น ๆ ผลรวมย่อย: 4 การเรียงสับเปลี่ยน
- 2 แดง + 1 ขาวหรือ 1 แดง + 2 ขาว ซึ่งหมายถึงการจัดเรียงที่เป็นไปได้ 4 รายการในกล่องอื่น ๆ ผลรวมย่อย: 8 การเรียงสับเปลี่ยน
รวม: 12 การเรียงสับเปลี่ยน
กรณีค. 2 ลูกในช่องแรก.
- 2 สีแดงหรือ 2 สีขาว ซึ่งหมายถึงการจัดเรียงที่เป็นไปได้ 6 รายการในกล่องอื่น ๆ ผลรวมย่อย: 12 การเรียงสับเปลี่ยน
- 1 สีแดงและ 1 สีขาว ซึ่งหมายถึงการจัดเรียงที่เป็นไปได้ 7 รายการในกล่องอื่น ๆ ผลรวมย่อย: 7 เรียงสับเปลี่ยน
รวม: 19 การเรียงสับเปลี่ยน
กรณีง. 1 ลูกในช่องแรก วิธีเดียวเท่านั้น: 1 สีแดงหรือ 1 สีขาว ซึ่งหมายถึงการจัดเรียงที่เป็นไปได้ 10 รายการในกล่องอื่น ๆ
รวม: 20 การเรียงสับเปลี่ยน
สรุป: 4 + 12 + 19 + 20 = 55
การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้