ฉันจะกำหนดชุดนี้ได้อย่างไร?

Question

ปล่อย $A_1,..., A_n$เป็นครอบครัวของชุด ฉันต้องการสร้างชุดตอนนี้ดังต่อไปนี้:

ชุด $B$ ทำจากการรวมกันขององค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากชุดใด ๆ

ตัวอย่างเช่น: $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ และ $A_3 = \{\{4\}\}$. จากนั้นชุด$B$ ควรจะเป็น:

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

คำถามของฉันคือฉันจะเขียนชุดนี้อย่างเป็นทางการได้อย่างไร?

แนวทางของฉันมีดังต่อไปนี้:

• ก่อนอื่นให้ใส่องค์ประกอบทั้งหมดที่เราต้องการรวมไว้ในชุดเดียวกัน: $\bigcup\limits_n A_n$

• จากนั้นลองใช้ชุดพลังงาน: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
  ในชุดพลังงานนี้เรามีชุดค่าผสมทั้งหมดที่เราต้องการ:

ตอนนี้เราสามารถกำหนด $B$ เช่น:

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

คำถามของฉันคือฉันมีความซับซ้อนมากเกินไปหรือไม่? มีวิธีอื่นในการกำหนดชุดนี้หรือไม่?

Answer 1

$\bigcup_nA_n$ คือชุดของชุดทั้งหมดที่คุณสามารถวาดองค์ประกอบได้ $\bigcup\bigcup_nA_n$ คือชุดขององค์ประกอบทั้งหมดที่คุณสามารถใช้เพื่อสร้างสมาชิกได้ $B$; ในตัวอย่างของคุณ

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

และ

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

เห็นได้ชัดว่าคุณต้องการเฉพาะส่วนย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ $B$ดังนั้น

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$