ฉันจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดลต้าโดยใช้นิยามฟูริเยร์ได้อย่างไร
ฉันสงสัยว่าเป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Dirac Delta โดยใช้คำจำกัดความที่ได้จากการแปลงฟูเรียร์: $$\delta(x-x')=\frac{1}{2\pi}\int e^{-ik(x-x')}dk.$$ สิ่งที่ฉันพยายามมีดังต่อไปนี้ (ปริพันธ์ทั้งหมดมาจาก -infinity ถึง + infinity): $$\frac{d}{dx}\delta(x-x') = \frac{1}{2\pi} \int \frac{d}{dx}e^{-ik(x-x')}dk=\frac{-1}{2\pi} \int e^{-ik(x-x')} \cdot ik dk$$ $$=\frac{-1}{2\pi} \left\{\frac{-ke^{-ik(x-x')}}{x-x'}\bigg|_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ik(x-x')}}{x-x'}dk\right\}$$ ถ้าเทอมแรกเป็นศูนย์เทอมที่สองก็จะกลายเป็น $\frac{-\delta(x-x')}{x-x'}$. โดยสัญชาตญาณนี่ควรเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดลต้า: เมื่อ$x'$เข้าหาจากทางซ้ายอนุพันธ์ของมันจะเปลี่ยนจาก 0 ถึงอินฟินิตี้ จากทางขวาอนุพันธ์จะเปลี่ยนจาก 0 ไปเป็นลบอินฟินิตี้ อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถแสดงให้เห็นว่าเทอมแรกเป็นศูนย์อย่างแท้จริง คุณสามารถพิสูจน์ / หักล้างสิ่งนี้ได้หรือไม่?
คำตอบ
คำแรกไม่ได้เป็นศูนย์ในความหมายโดยตรงใด ๆ ในความเป็นจริงการแสดงออกนั้นแตกต่างกันอย่างชัดเจน เหตุผลที่ในฟิสิกส์คุณสามารถหลีกหนีจากการแสร้งทำเป็นว่ามันเป็นศูนย์ได้นั้น$\delta$ และอนุพันธ์ของมัน $\delta'$ไม่ได้จริงฟังก์ชั่นที่มีการขยายตัวบรรจบฟูริเยร์ในสถานที่แรก แต่ที่พวกเขามักจะเรียกว่าการกระจาย
ในความคิดของฉันวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจคือพวกมันเป็นเวกเตอร์คู่ของพื้นที่ฟังก์ชัน โดยเฉพาะ$\delta$ อยู่ในช่องว่างคู่ $(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}))^\ast$ ของช่องว่างของฟังก์ชันต่อเนื่องและ $\delta'$ อยู่ใน $(\mathcal{C}^1(\mathbb{R}))^\ast$คือฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างต่อเนื่อง วิธีที่ง่ายและเข้มงวดในการกำหนดคือ$$\begin{align} \delta_{x_0} \: f :=& f(x_0) \\ \delta'_{x_0} \: f :=& -f'(x_0) \end{align}$$ คืออาร์กิวเมนต์ของ $\delta$เป็นฟังก์ชันไม่ใช่จำนวนจริง ทุกสิ่งที่เขียนใน$\delta(x-x')$ ในความเป็นจริงสไตล์เป็นเพียงสัญกรณ์หลอกซึ่งจะถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนเมื่อปรากฏในอินทิกรัล: $$\begin{align} \int_\Omega\!\!\mathrm{d}x\ \delta(x-x_0) \cdot f(x) := \delta_{x_0}\:f =& f(x_0) & \text{if $x_0 \ ใน \ โอเมก้า$} \end{align}$$ในทางเดียวกันคุณสามารถทำทั้งหมดนี้ได้ในฟูริเยร์สเปซ การขยายตัว$\delta(x) \propto \int\mathrm{d}k\ e^{-ikx}$ ไม่ได้มาบรรจบกันจริง ๆ แต่มันจะมาบรรจบกันเมื่อคูณด้วยความถี่ที่ชาญฉลาดกับการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากการขยายตัวดังกล่าวมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สลายตัวด้วยอย่างน้อย $O(k^{-1})$ดังนั้น $$ \|e^{-ikx} \cdot\operatorname{FT}(f)(k)\| \leq O(k^{-1}) $$และฟังก์ชันการสั่นที่สลายตัวในลักษณะนั้นสามารถรวมเข้าด้วยกันได้
ในทำนองเดียวกันการขยายฟูริเยร์ที่คุณได้รับมา $\delta'$ จะมีเหตุผลหลังจากที่คุณคูณด้วยความถี่ที่ชาญฉลาดด้วยการขยายฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างต่อเนื่องเพราะมันจะสลายตัวไป $O(k^{-2})$ และดังนั้นจึง $$ \bigl(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\:\delta(x-x')\bigr)\:f(x) \propto \left.\left[\frac{-k\cdot e^{-ik(x-x')}}{x-x'}\cdot O(k^{-2})\right]\right|_{-\infty}^\infty + \ldots $$ และที่นี่ $k\cdot O(k^{-2})$ ให้บางสิ่งบางอย่างใน $O(k^{-1})$ซึ่งจะหายไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดหมายความว่าการได้มาของคุณถูกต้อง