ช่วงเวลาของจำนวนตัวหารที่ จำกัด ช่วงเวลา
ฉันเคยถามคำถามก่อนหน้านี้ผลรวมฟังก์ชันตัวหารที่ถูกตัดทอนซึ่งผลรวม$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ เป็นที่สนใจและได้รับคำตอบอย่างน่าพอใจ
ที่นี่ฉันสนใจที่จะประมาณปริมาณต่อไปนี้ $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ ดังนั้นตัวหารจึงมีขนาด จำกัด หรือถูก จำกัด ไว้ที่ช่วงเวลา $[1,m]$ ไม่อยู่ใน `` number '' ตาม (1)
เมื่อไหร่ $a=1,$ ตรงไปตรงมา (เท่าที่จะได้รับคำหลัก) เนื่องจากผลรวมสามารถประเมินได้ในแนวนอน $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ และโดยปกติแล้วฉันจะสนใจในค่าที่ค่อนข้างเล็กของ $m$ ในแง่ของ $x$.
เกี่ยวกับ $a\neq 1$เหรอ? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$a=1/2,$ หรือ $a=2,3,$ ฯลฯ เราจะประมาณผลรวมเหล่านั้นได้อย่างไร?
คำตอบ
เราถือว่า $m\leq x$. ของคุณ$S_1(x,m)$ ในความเป็นจริง $x\log m + O(m)$.
คำตอบนี้พบค่าประมาณของ $S_2(x,m)$.
$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ ที่ไหน $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.
หากต้องการหาค่าประมาณของผลรวมแรกให้ $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ ที่ไหน $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, พวกเราเขียน $d_1=dk$, $d_2=dl$ ด้วย $(k,l)=1$. เพื่อจัดตั้ง$(k,l)=1$เราใช้ข้อมูลประจำตัว $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, ที่ไหน $\delta_1(n)=1$ เมื่อไหร่ $n=1$, $0$มิฉะนั้น. แล้ว$k=uv$, $l=uw$, ดังนั้น $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. แล้ว
$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ ดังนั้น $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$
เราอาจจะได้รับ $S_a(x,m)$ด้วยวิธีการเดียวกัน แต่ผลรวมที่ได้มีความซับซ้อนมากขึ้น