ช่วยในการพิสูจน์ผลลัพธ์จากสัจพจน์ของการบวกและการคูณ
ในขณะที่อ่านบทวิเคราะห์ 1 โดย Vladimir A.Zorich ฉันพบข้อพิสูจน์นี้ซึ่งมี 1 ขั้นตอนนี้ที่ฉันไม่เข้าใจ นี่คือผลลัพธ์และการพิสูจน์:
สำหรับทุกๆ $x\in \mathbb R$ ต่อไปนี้เป็นจริง
$$-x=(-1)\cdot x$$
หลักฐาน. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. สมมติฐานดังกล่าวมาจากความเป็นเอกลักษณ์ของการลบของจำนวน
สิ้นสุดการพิสูจน์
ส่วนที่ไม่เข้าใจคือสิ่งที่ฉันไม่เข้าใจ สัจพจน์การบวกและการคูณอะไรที่ใช้ในการสร้างนิพจน์นั้น
คำตอบ
โปรดทราบว่า $1\in\Bbb{R}$ เป็นองค์ประกอบพิเศษของชุดที่มีคุณสมบัติสำหรับทุกๆ $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. ต่อไปเราจะใช้กฎการกระจายสำหรับทุกคนด้วย$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. ดังนั้น\ start {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {คุณสมบัติของ$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {distribution law} \ end {align}ส่วนที่เหลือของการพิสูจน์จะตามมาเมื่อคุณกำหนดสิ่งนั้นสำหรับทุกๆ$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.
หลักคือการกระจาย: $a(b+c) = ab + ac$.
ดังนั้นการพิสูจน์จึงเป็นดังนี้:
$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (โดยการดำรงอยู่และคำจำกัดความของเอกลักษณ์หลายหลาก)
$=(1+(-1))\cdot x$ (โดยการกระจาย)
$=0\cdot x$ (ตามความหมายของการเพิ่มผกผัน)
$=x\cdot 0$ (การสับเปลี่ยนของการคูณ แต่ฉันไม่รู้ว่าทำไมเขาถึงทำเช่นนี้)
$= 0$(นี่ไม่ใช่สัจพจน์ แต่เป็นเรื่องที่พิสูจน์ได้$0\cdot x = 0$. คุณได้พิสูจน์แล้วหรือยัง? Spivak ใช้เป็นสัจพจน์หรือไม่)
ตามความหมายแล้วเรามีสิ่งนั้นสำหรับทุกๆ $x$ มีอยู่ไม่ซ้ำกัน $-(x)$ ดังนั้น $x + (-x) = 0$.
หากเราเคยมีไฟล์ $a$ ดังนั้น $x + a = 0$ มันต้องเป็นอย่างนั้น $a=-x$เนื่องจากผกผันการคูณไม่ซ้ำกัน เช่น$x + (-1)x =0$ มันจะต้องเป็น $(-1)x = -x$.
======
ข้อเสนอ: $x\cdot 0 = 0$.
Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (ทุกองค์ประกอบ$a$รวมถึง $x\cdot 0$, มีสารเติมแต่งผกผัน $-a$, ดังนั้น $a + (-a) =0$.)
$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ เพราะ $0$ คือเอกลักษณ์เพิ่มเติมและ $a +0 = a$ เพื่อทุกสิ่ง $a$รวมถึงเมื่อ $a$ คือ $0$.)
$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (การกระจาย)
$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (การเชื่อมโยง)
$x\cdot 0 + 0 = 0$ (คำจำกัดความของเอกลักษณ์เสริม)
$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ เพื่อทุกสิ่ง $a$ ตามความหมายของเอกลักษณ์เพิ่มเติม)