จลนศาสตร์ของการสลายกัมมันตภาพรังสีแบบขนานพร้อมกัน
คำถาม:
ไอโซโทปกัมมันตภาพรังสี A ผ่านการสลายตัวพร้อมกันไปยังนิวเคลียสที่แตกต่างกันเมื่อ: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4.5 \ \ mathrm h) \ end {array}
สมมติว่าตอนแรกไม่มีทั้ง P และ Q หลังจากนั้นกี่ชั่วโมงจำนวน Q จะเป็นสองเท่าของจำนวน A ที่เหลืออยู่?
การแก้ปัญหาของฉัน:
ฉันได้รับ $t_{1/2}$ สำหรับ $A$ เช่น $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$
ตอนนี้จากกฎรัทเทอร์ฟอร์ด - สดจำนวนอะตอมที่เหลืออยู่หลังจากนั้น$n$ ครึ่งชีวิตคือ
$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
และจำนวนครึ่งชีวิต $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$
สำหรับไอโซโทป $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ ที่ไหน $T$ เป็นช่วงเวลาแห่งการสลายตัวสำหรับ $\mathrm A$ และ $\mathrm Q$
สำหรับ $\mathrm Q$ ฉันต้องสันนิษฐานว่า $\mathrm Q$ ยังอยู่ระหว่างการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสีเพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง $\mathrm A$ และ $\mathrm Q$
ตอนนี้ใช้สูตรเดียวกับข้างบน $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$
ตอนนี้ใช้เงื่อนไขในคำถาม $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$
เลี้ยงด้วยอำนาจ $9$ ทั้งสองด้าน
$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$
ซึ่งหมายความว่า
$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$
ดังนั้น,
$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$
แม้ว่าฉันจะได้คำตอบและมันก็เป็นไปตามเงื่อนไข แต่ฉันก็ยังคิดว่ามันผิดเพราะสมมติฐานที่ตั้งไว้ $\mathrm Q$ และสิ่งอื่นที่จำเป็นต้องทำเพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง $\mathrm A$ และ $\mathrm Q$ ยิ่งไปกว่านั้นมันได้รับในคำถามที่ตอนแรกไม่เหมือนกัน $\mathrm P$ หรือ $\mathrm Q$ มีอยู่และฉันเดาว่าข้อสันนิษฐานนั้นละเมิด
คำตอบ
ปฏิกิริยาขนานหรือข้างเคียงของลำดับแรก: แนวคิด
$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$
คำสั่งซื้อที่มีประสิทธิภาพ = 1
$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$
$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$
$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$
แยกความแตกต่างเกี่ยวกับ $T$,
$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$
$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$
$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$
ในทำนองเดียวกัน
$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$
$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$
- สัดส่วนของ $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [คูณ 100 สำหรับเปอร์เซ็นต์]
- สัดส่วนของ $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [คูณ 100 สำหรับเปอร์เซ็นต์]
ปัญหาที่เกิดขึ้นจริง
\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}
$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$
$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$
$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$
$$\implies t= 6\mathrm h$$
นั่นจึงให้คำตอบเป็น 6 ชม.
คำถามได้รับการแก้ไขแล้วโดยYashwiniและคำตอบที่ได้รับนั้นถูกต้อง$^2$ คำอธิบายคำถามที่เข้าใจง่ายและเฉพาะเจาะจงมากขึ้นจะตามมาที่นี่
ตอนนี้สองปฏิกิริยาที่ได้รับคือ:
\ start {array} {cc} \ ต้องใช้ {ยกเลิก} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4.5 \, \ mathrm h) \\ \ end {array}
ตอนนี้ใช้กฎหมายอัตราเราได้
\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}
อัตราคงที่สำหรับปฏิกิริยาลำดับแรกที่มีครึ่งชีวิตของ $t_{1/2}$ ถูกกำหนดให้เป็น:
$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$
ตอนนี้แทนที่ค่าที่กำหนดของ $t_{1/2}$ ในสมการเราได้ $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (ตั้งแต่ $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$
ตอนนี้โดยสัญชาตญาณเนื่องจากปฏิกิริยาทั้งสองเกิดขึ้นพร้อมกันก็หมายความว่าสำหรับทุกๆโมลของ P จะมีรูปแบบ Q สองโมล ดังนั้นสำหรับทุกโมลของ P จะมีปฏิกิริยา A สามโมล (เนื่องจากต้องใช้โมลหนึ่งโมลสำหรับแต่ละโมลของ P และ Q)
ตอนนี้เราเพิ่มกฎหมายอัตรา ($1$) และ $(2)$เนื่องจากปฏิกิริยาเกิดขึ้นพร้อมกันเพื่อรับ:
$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$
ตอนนี้เนื่องจากใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง $k_\mathrm{P}$ และ $k_\mathrm{Q}$, เราได้รับ $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$
ดังนั้นจึงใช้กฎอัตรารวมสำหรับปฏิกิริยาลำดับที่หนึ่งของสมการ $(4)$, เราได้รับ:
$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$
ตอนนี้จำนวน $A$ ใช้ที่นี่จะเป็น $A_0 -A$และเราได้รับค่านั้นเป็น:
$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$
ตอนนี้ดังที่เราได้สังเกตไว้ก่อนหน้านี้สำหรับทุก ๆ สามโมลของ A ที่ใช้จะมีการสร้างโมล Q สองโมล ซึ่งหมายความว่าตอนนี้จำนวน Q ในส่วนผสมจะเท่ากับสองในสามของ$A_\text{used}$. ดังนั้นจำนวน Q จะเป็น:
$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$
ตอนนี้เราได้รับเงื่อนไข $Q = 2A$แทนค่าของ $Q$ และ $A$ ในความสัมพันธ์ที่กำหนดเราได้รับ:
$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$
การแก้ปัญหาสำหรับ $t$, เราได้รับ:
\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}
ตอนนี้ใช้สมการ $(3)$เราได้ค่าคงที่ของอัตรา $k_\mathrm P$ เป็น $\frac{\ln 2}{9}$. การแทนที่ค่านี้ในนิพจน์สำหรับเวลาเราจะได้รับ:
$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$
ดังนั้นเวลาที่เงื่อนไขนี้จะเกิดขึ้นคือ:
$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$