Contour บูรณาการ $\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Aug 17 2020

ฉันต้องการที่จะรวม $\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$ ที่ไหน $m$ เป็นจำนวนเต็ม

ปรากฏว่ามีเอกพจน์ทั้งจริง $x = \frac{n\pi}{a}$ และจินตนาการ $x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.

สิ่งนี้ดูเหมือนจะแนะนำว่าการรวมรูปร่างเป็นวิธีที่จะไป

ตอนนี้ฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการต่อจากที่นี่อย่างไร

คำตอบ

1 metamorphy Aug 17 2020 at 13:26

สำหรับ $m>0$, $\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$ดังนั้นอินทิกรัลที่กำหนดคือผลรวมของสิ่งต่างๆเช่น $$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$ ที่ไหนสำหรับซับซ้อน $z$ ด้วย $\Re z>-1$, $$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$ ด้วย $\psi$ฟังก์ชันไดแกมมา (ความเสมอภาคสุดท้ายคือการแสดงให้เห็นว่ามันทำที่นี่ ) ถ้าเรามีไซน์แทนโคไซน์ใน$\eqref{mainint}$, $\psi$'s จะลดเพราะสูตรการสะท้อน เมื่อโคไซน์อยู่ในตำแหน่งสิ่งเหล่านี้ก็ไม่ได้ผลเช่นกัน นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันไม่คาดหวังว่าการรวมรูปร่างจะให้สิ่งที่เป็นประโยชน์