endomorphism เชิงเส้นระหว่าง $V$ และคู่ของ $V$

Question

ปล่อย $V$ เป็นเวกเตอร์สเปซมิติ จำกัด เหนือฟิลด์ $K$. $V^*=\{l:V\to K\}$.

พิสูจน์ $\operatorname{End}(V)$ isomorphic เชิงเส้นถึง $\operatorname{End}(V^*)$.

ความพยายามของฉัน: ตั้งแต่สำหรับพื้นที่เวกเตอร์มิติ จำกัด $\dim V^*=\dim V$

ดังนั้นพวกมันจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงเส้นโดย $\psi:V\to V^*$.

องค์ประกอบที่กำหนดดังนั้น $T\in \operatorname{End}(V)$ เราสามารถหาได้ $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ ง่ายต่อการตรวจสอบว่าเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมเชิงเส้น

และแผนที่วางไว้ตั้งแต่เมื่อใด $\hat{T}$ เราสามารถสร้าง $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. มันฉีดตั้งแต่$\hat{T} = 0$ หมายถึง $T = 0$ คือแผนที่ศูนย์ดังนั้นจึงมีเคอร์เนลเล็กน้อย

ในที่สุดเราก็ต้องแสดง $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$ยังเป็นเส้นตรง กล่าวคือ$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ ตามความหมายของ $\hat{T}$ มันถือ

หลักฐานของฉันถูกต้องหรือไม่?

Answer 1

หลักฐานของคุณถูกต้อง อย่างไรก็ตามมี isomorphism พื้นที่เวกเตอร์อื่นระหว่าง$\operatorname{End}(V)$ และ $\operatorname{End}(V^*)$ ที่ไม่ต้องการ isomorphism $V \rightarrow V^*$. ได้แก่ แผนที่$A \in \operatorname{End}(V)$ ถึง $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ โดยการกำหนด $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. ที่นี่$ x\in V$ และ $\phi \in V^*$.

Answer 2

คุณต้องการทำแผนที่ $T\colon V\to V$ ไปยังแผนที่เชิงเส้น $V^*\to V^*$ และมีวิธีที่ชัดเจนในการทำนั่นคือการทำแผนที่ $T$ ไปยังทรานสโพส $T^*$. อย่างไรก็ตามสิ่งนี้กำหนดantiisomorphismเนื่องจาก$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

คุณได้รับไอโซมอร์ฟิซึมโดยใช้เมื่อนั้น $\dim V=n$, คุณได้รับ $V\cong M_n(K)$ (วงแหวนของ $n\times n$matrices) ผ่านทางเลือกของพื้นฐาน การเปลี่ยนผ่านของ isomorphism เสร็จสิ้น