$f$ เป็น iff ต่อเนื่อง $G(f)$ เป็นชุดปิดในช่องว่างเมตริก [ซ้ำ]

Question

กราฟของ $f$ คือ $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ และ $Y$ คือช่องว่างเมตริก $Y$ มีขนาดกะทัดรัด

$f$ เป็น iff ต่อเนื่อง $G(f)$ เป็นชุดปิด

ฉันได้รับคำตอบที่ใกล้เคียงที่สุดที่นี่แต่ฉันได้ลองทำด้วยตัวเองก่อนและติดขัดจนถึงจุดหนึ่งและฉันต้องการความช่วยเหลือเกี่ยวกับสถานการณ์นั้น ๆ ซึ่งฉันไม่ได้ไปที่อื่น /

$\Rightarrow$ ส่วนหนึ่ง: ให้ $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ เป็นลำดับบรรจบกันของ $G(f)$. ถ้า$(x,y)$คือขีด จำกัด เราต้องแสดงให้เห็นว่า$y=f(x)$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[โดยความต่อเนื่องของ $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$ตามเอกลักษณ์ของขีด จำกัด ดังนั้น$G_f$ ถูกปิด.

$\Leftarrow$ ส่วนหนึ่ง: ให้ $x\in X$ และ $(x_n)$ ลำดับคอนเวอร์เจนต์ที่มีขีด จำกัด $x$. คุณต้องพิสูจน์สิ่งนั้น$(f(x_n))$ มาบรรจบกันใน $Y$ ด้วยขีด จำกัด $f(x)$. ฉันได้ใช้ลำดับ$z_n=(x_n,f(x_n))$ และ $G_f$ ถูกปิดในพื้นที่ขนาดกะทัดรัด $Y$ และด้วยเหตุนี้ $G_f$มีขนาดกะทัดรัด จากนั้นมีต่อมา$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. จากนั้นเราจะมี$y=f(x)$ แต่ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร $f(x_n) \to f(x)$เหรอ? มันเป็นความจริงที่เกิดขึ้นทุกครั้ง$f(x_n)$ มีการบรรจบกันในภายหลัง $f(x)$.

Answer 1

จากความคิดเห็นฉันได้รับคำตอบซึ่งมาจากคำศัพท์นี้:

แทรก Let$Y$ เป็นพื้นที่เมตริกขนาดกะทัดรัดและ $(y_n)$ ลำดับที่มีเงื่อนไขเป็นของ $Y$. หากทุกครั้งมาบรรจบกันของ$(y_n)$มาบรรจบกับขีด จำกัดเดียวกัน$\ell\in Y$แล้ว $(y_n)$ มาบรรจบกับ $\ell$.

หลักฐานสมมติว่าตรงกันข้าม จากนั้นมีอยู่$\epsilon>0$, ดังนั้น :

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

สิ่งนี้ช่วยให้เราสร้างลำดับต่อมาได้ $(y_{n_k})$ ดังนั้น :

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

ตอนนี้สารสกัดจาก $(y_{n_k})$ ลำดับต่อมาบรรจบกัน: ขีด จำกัด ของมัน $\ell$ จากสมมติฐานและด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับ $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

ขัดแย้ง!

ตอนนี้ใครบางคนสามารถปิดคำตอบนี้ได้ แต่ฉันสามารถเก็บไว้ในบันทึกของฉันได้และถ้ามีใครจะดำเนินการในลักษณะนี้ พวกเขาจะได้รับความช่วยเหลือจากมัน ฉันถามคำถามนี้เพราะฉันกำลังตรวจสอบวิธีที่ชัดเจนวิธีหนึ่งที่สามารถอยู่ในใจของเรา ขอบคุณมาก!