ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับความแตกต่างระหว่างสอง iid Exponential rvs

Aug 18 2020

คำตอบของฉันถูกปิดอย่างสมบูรณ์ ช่วยบอกหน่อยได้ไหมว่าตรรกะของฉันผิดพลาดตรงไหน

โดนัลด์ทรัมป์และโทรีแบล็กจะพบกันในเวลาที่กำหนดและทั้งคู่จะมาสาย $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $. ความแตกต่างของเวลาที่มาถึงคืออะไร

ปล่อย $ X, Y$ เป็นเวลาสายและแตกต่างกัน $Z = X - Y$. กรณีคือ$z \geq 0$ และ $z < 0 $.

ก่อนอื่นสำหรับ $ z \geq 0$,

$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$

Z $\geq 0$ดังนั้น $X \geq 0 $ เพื่อทุกสิ่ง $Y$.

$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$



ตอนนี้สำหรับ $z < 0$ซึ่งการคำนวณของฉันไปมากผิดปกติ

ในทำนองเดียวกัน $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $

$Z < 0$ดังนั้นสำหรับ $X \geq 0$, $Y$ ควรจะเป็น $Y \geq -Z$ดังนั้นฉันจึงทำ:

$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$

ดังนั้นคำตอบของฉันสำหรับทั้งสองกรณีจึงเหมือนกันยกเว้น $z$ ลงชื่อ.

CDF ที่ถูกต้องมีให้ในหนังสือเรียนเป็น

$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ สำหรับ $z\geq 0$ และ $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ สำหรับ $z<0$.


ฉันลืมที่จะรวม $Y$ เกิน $\int_0^{-z}$ สำหรับ $z<0$ซึ่งเมื่อรวมแล้วจะให้คำตอบในตำราเรียน

คำตอบ

2 gunes Aug 18 2020 at 21:19

ขีด จำกัด อินทิกรัลของคุณไม่ถูกต้อง ถ้าคุณวาดขอบเขตของการรวมมันจะอยู่ในควอดแรนท์แรกและทางขวาของเส้น$X-Y=z$. มันจะง่ายกว่าที่จะรวมถ้าลำดับของการรวมคือ$dy dx$. มิฉะนั้นคุณจะต้องคำนวณสองช่วงที่แตกต่างกัน:$0\leq y \leq -z$ และ $-z<y<\infty$. ในอินทิกรัลของคุณคุณแค่คำนวณช่วงเวลาที่สอง

$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$

สิ่งนี้ให้ผลตอบแทน $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$

2 DilipSarwate Aug 19 2020 at 02:34

ฉันจะไม่ตอบคำถามของ OP เกี่ยวกับการวิเคราะห์ของเขาสำหรับกรณีนี้ $z<0$ ผิดพลาด แต่ชี้ให้เห็นวิธีที่ง่ายกว่าในการหาคำตอบที่ถูกต้องเมื่อค่าของ $F_Z(z)$ ถูกกำหนดให้เป็น $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ เมื่อไหร่ $z > 0$.

ตั้งแต่ $X$ และ $Y$เป็นตัวแปรสุ่มความหนาแน่นของ$Z = X-Y$ ต้องเท่ากับความหนาแน่นของ $-Z = Y-X$นั่นคือความหนาแน่นต้องเป็นแม้ฟังก์ชั่น ผลที่ตามมาประการหนึ่งก็คือ$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ และเราก็รับทันที \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} และอื่น ๆ $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$

1 StijnDeVuyst Aug 19 2020 at 17:55

ในความเป็นจริงปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องคำนวณอินทิกรัลใด ๆ เลยหากคุณเริ่มต้นจากความรู้ที่ว่าการแจกแจงเลขชี้กำลังเป็นการกระจายแบบต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวซึ่งไม่มีหน่วยความจำ นั่นหมายความว่าถ้าตัวแปรสุ่ม$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ แล้วยัง $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ สำหรับใด ๆ $a>0$. กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า$X$เป็นเวลาจนกว่า Donald Trump มาถึงและเขาไม่ได้มาถึงหลังจากการพูด, 10 นาทีจากนั้นเวลาจนกว่าเขาจะมาถึงเกินกว่า 10 นาทีนอกจากนี้ยังมีการกระจายเป็น$X$. สิ่งนี้อาจดูเหมือนต่อต้าน แต่พิสูจน์ได้ง่าย

ตอนนี้ถ้า $X,Y$ ฉันเป็น $\text{Expon}(\lambda)$ และเวลามาถึงของโดนัลด์และโทริตามลำดับโดนัลด์จะเป็นคนแรกที่มาถึงด้วยความน่าจะเป็น 0.5: $\text{Prob}(Y>X)=0.5$. ที่สำคัญกว่านั้นในกรณีนั้นคุณสมบัติที่ไม่มีความทรงจำของ$Y$ บอกเราว่า $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ ค่าใดก็ตาม $X$ และดังนั้นจึง $-Z|Y>X$ คือ $\text{Expon}(\lambda)$. ในทำนองเดียวกันถ้า Tori มาถึงก่อนด้วยความน่าจะเป็น$\text{Prob}[X>Y]=0.5$แล้ว $Z|X>Y$ ก็เช่นกัน $\text{Expon}(\lambda)$. การรวมทั้งสองกรณีเข้าด้วยกันทำให้คุณได้ผลลัพธ์ที่สมมาตรสำหรับ$F_Z(z)$ ที่ได้รับมาก่อน

deanstreet Aug 19 2020 at 17:20

ผมขอCDFแต่ถ้ามันมีไว้สำหรับรูปแบบไฟล์ PDF

สำหรับ $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$

สำหรับ $z<0, z< 0\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$