ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของตัวแปรสุ่มสองตัว

Question

ปล่อย $X$ และ $Y$ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระพร้อมฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ตามลำดับ

$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ และ $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $

แล้ว $ P(X+Y = 1) $เท่ากับ

ฉันรู้ว่าการใช้ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ทำให้เราสามารถหาความน่าจะเป็นได้

$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$

การเปรียบเทียบ mgf นี้เราจะได้ความน่าจะเป็นเฉพาะ แต่เราจะทำอย่างไรกับคำถามนี้?

Answer 1

คำแนะนำ: $X$ และ $Y$เป็นตัวแปรสุ่มค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ ตอนนี้สังเกตว่า $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$. ตั้งแต่$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ เราเห็นว่า $P(X=0)$ และ $P(X=1)$ คือค่าสัมประสิทธิ์ของ $e^{0t}$ และ $e^{t}$. จบได้ไหม?

Answer 2

เป็นที่ทราบกันดีว่าหาก $X\sim Bin(n,p)$ แล้ว $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$. ด้วยประการฉะนี้$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ และ $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$. จากที่นี่,$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ และเหลือไว้เพื่อแทนที่ตัวเลขทั้งหมดในสูตรสำหรับการแจกแจงทวินาม