ฟังก์ชันที่แสดงเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ที่แตกต่างและ / หรือต่อเนื่องในช่วงคอนเวอร์เจนซ์
สมมติว่า f (x) เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันไม่สิ้นสุดในละแวกใกล้เคียง $0$และรัศมีการบรรจบกันของชุดเทย์เลอร์รอบ ๆ $0$, $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$คือ 8
หมายความว่า $f(x)$ มีความต่อเนื่องและ / หรือแตกต่างกันได้ที่ $(-8,8)?$ และทำไม?
คำตอบ
ไม่มันไม่ได้ ตัวอย่างเช่นฉันสามารถใช้อนุกรมพลังงานใดก็ได้$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ มีรัศมีการบรรจบกัน $8$แล้วกำหนด
$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$
การขยายเทย์เลอร์ของฟังก์ชันนี้รอบ ๆ $0$ เป็นเพียงอนุกรมกำลังที่กำหนด แต่จะเห็นด้วยกับอนุกรมกำลังภายในช่วงเวลาเท่านั้น $(-1,1)$แม้ว่าอนุกรมกำลังจะมีรัศมีการบรรจบกันมากกว่าก็ตาม แต่ถ้า$f$ เห็นด้วยกับซีรีส์เทย์เลอร์จริงๆ $(-8,8)$กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือมันเป็นเชิงวิเคราะห์ใช่แล้วมันจะแตกต่างกันได้ (แม้กระทั่งบ่อยครั้งไม่สิ้นสุด) ในช่วงเวลาทั้งหมด แต่การวิเคราะห์เป็นเงื่อนไขที่แข็งแกร่งมากดังนั้นคุณจึงไม่สามารถสรุปได้เสมอไป
ความสัมพันธ์ระหว่างที่กำหนด $f$ฟังก์ชันและซีรีย์ Taylor อาจเป็นเรื่องยุ่งยาก เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียง$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$ ซึ่งแตกต่างอย่างไม่มีที่สิ้นสุดกับ $f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. ชุดเทย์เลอร์$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$ มาบรรจบกันทั้งหมด $\mathbb{R}$กล่าวคือรัศมีของการบรรจบกันคือ $R=\infty$แต่เกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันที่จุดกำเนิดเท่านั้น ตอนนี้เราสามารถใช้ฟังก์ชันบางอย่างได้$g$ ซึ่งเท่าเทียมกัน $f$ เฉพาะในพื้นที่ใกล้เคียงของแหล่งกำเนิดเท่านั้น แต่สามารถเป็นประเภทใดก็ได้นอกเช่นไม่ต่อเนื่อง
ดังนั้นจึงมีประโยชน์ที่จะมีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการให้$\boldsymbol{f}$ ฟังก์ชันที่จะแสดงโดยอนุกรมเทย์เลอร์ในช่วงคอนเวอร์เจนซ์$(-R,R)$, ที่ไหน $R$คือรัศมีการบรรจบกัน หนึ่งดังต่อไปนี้:
เทย์เลอร์ที่เหลืออยู่ในรูปแบบ Maclaurin $R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$ ในช่วงเวลาที่กำหนดมีแนวโน้มที่จะ $0$, ที่ไหน $p>0$, $\xi$ ระหว่าง $x$ และ $a$.