ฟิลด์เศษส่วนของ $\mathbb Z_p[[X]]$
เรารู้ว่าฟิลด์เศษส่วน $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ถูกบรรจุไว้อย่างเคร่งครัดในด้านของชุดพลังงานของ Laurent$\mathbb Q_p((X))$ขอบคุณที่นี้เป็นผลมาจากกิลเมอ ดังนั้นคำถามของฉันคือ:
เป็นไปได้หรือไม่ที่จะอธิบายองค์ประกอบของไฟล์ $F$เหรอ?
มีการถามคำถามที่คล้ายกันนี้แล้วที่นี่หรือใน Mathoverflow บางทีสิ่งที่เกี่ยวข้องที่สุดคืออันนี้เกี่ยวกับการคำนวณอย่างชัดเจนของฟิลด์เศษส่วนของ$\mathbb Z[[X]]$. มีคนแนะนำในความคิดเห็นของคำถามที่เชื่อมโยงซึ่งมีปัญหา$\mathbb Z_p$ (แทน $\mathbb Z$) น่าจะง่ายกว่า.
เงื่อนไขที่จำเป็นทั่วไปบางประการจะได้รับที่นี่เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลังอยู่ในโดเมนใด ๆ แต่ฉันต้องการหาเงื่อนไขที่เพียงพอในกรณีเฉพาะของ$\mathbb Z_p$.
ขอบคุณมากล่วงหน้า
คำตอบ
สมมติว่าคุณมีซีรี่ส์พลัง $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.
หากไม่ใช่ศูนย์คุณสามารถเขียนเป็นไฟล์ $X^np^m\sum_k b_kX^k$ ด้วย $b_0 \notin (p)$.
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $\mathbb Z_p$ เป็นของท้องถิ่น $b_0$ กลับไม่ได้และอื่น ๆ $\sum_kb_k X^k$ ยังกลับไม่ได้: คุณจะต้องกลับด้านเท่านั้น $X^np^k$
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.
ดังนั้นองค์ประกอบ $f\in \mathbb Q_p((X))$ อยู่ใน $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ $p^n$ ในตัวหารมีขอบเขต
(คำอธิบายด้านบนแสดงบิต "เฉพาะในกรณีที่" และสำหรับ "ถ้า": หากมีขอบเขตให้คูณด้วย $p^k$ สำหรับ $k$ ใหญ่พอที่จะทำให้คุณเข้ามาได้ $\mathbb Z_p((X))$)
ตามที่ YCor ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นของคำถาม MO เกี่ยวกับ $\mathbb Z[[X]]$คำถามอาจจะง่ายกว่าในวงแหวนท้องถิ่นโดยทั่วไปแม้ว่าในที่นี้ฉันจะใช้ว่าอุดมคติสูงสุดคือหลักการ (ดังนั้นจึงใช้ได้กับวงแหวนการประเมินค่าแบบแยกส่วน)