ฟิลด์ตกค้างของคอมโพสิตของสองฟิลด์
[คำถาม]
ฉันรู้แล้ว $K'\cdot K''$ เป็นส่วนขยายที่ไม่ระบุชื่อของ $K$ แต่ฉันไม่รู้ว่าทำไม $K'\cdot K''$ มีสนามตกค้าง $k'$.
มันเป็นความจริงเสมอ $K_1\cdot K_2$ มีสนามตกค้าง $k_1 \cdot k_2$เหรอ? (ที่ไหน$k_1,k_2$ เป็นเขตข้อมูลตกค้างของ $K_1, K_2$)
ผมคิดว่าถ้าเราพิสูจน์โจทย์ 7.50 เราก็ใช้ได้ " $K_1\cdot K_2$ มีสนามตกค้าง $k_1 \cdot k_2$" ในสถานการณ์นี้.
อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถใช้ข้อเท็จจริงนั้นในขณะที่พิสูจน์เรื่องนี้ได้
ฉันจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร?
ขอขอบคุณสำหรับความสนใจของคุณ.
การอ้างอิง ( ทฤษฎีจำนวนพีชคณิตของ JS Milne ) และโพสต์ นี้1 : การให้เหตุผลแปลก ๆ ของส่วนขยายที่ไม่มีการระบุที่มีช่องตกค้างเหมือนกัน
คำตอบ
สำหรับ $K/\Bbb{Q}_p$ ส่วนขยายที่ จำกัด แล้ว $F/K$ เป็น unramified iff $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ ด้วย $p\nmid n$ และ $q= |O_F/(\pi_F)|$. นี่คือแอปพลิเคชั่นหลักของ Hensel lemma
เมื่อไหร่ $E/K,E'/K$ จะแตกออกดังนั้นจึงไม่ใช่กรณีที่ฟิลด์ตกค้างของเสมอไป $EE'$ คือฟิลด์ที่เล็กที่สุดที่มีอยู่ $E,E'$ลองด้วย $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.
เมื่อไหร่ $E'/K$ จะไม่ถูกตีพิมพ์แล้ว $EE'=E(\zeta_{q-1})$ มีสนามตกค้าง $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.