หามุมระหว่างเส้นสัมผัสสองเส้นที่ดึงมาจากจุด $(0, -2)$ ไปยังเส้นโค้ง $y=x^2$

Question

หามุมระหว่างเส้นสัมผัสทั้งสองที่ดึงมาจากจุด $(0, -2)$ ไปยังเส้นโค้ง $y=x^2$.

นี้เป็นความพยายามของฉัน:
Let$P(\alpha, \beta)$ เป็นจุดบนเส้นโค้ง $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ สมการแทนเจนต์ที่ P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ ควรปรับสมการนี้ $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ ตอนนี้วางค่าเหล่านี้เพื่อหาความชัน$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ เรารู้ว่าสำหรับ $\theta$= มุมระหว่างเส้นและ $m_1\quad\&\quad m_2$ ความชันของเส้น: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

คำตอบของฉันไม่ตรงกับหนังสือ หนังสือเล่มนี้เป็นหนังสือที่ได้รับการชื่นชมมากดังนั้นจึงไม่ผิดพลาด ฉันไม่พบข้อผิดพลาดในโซลูชันของฉัน หนังสือระบุคำตอบเป็น$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

แก้ไข:หนังสือเล่มนี้ระบุคำตอบเป็น$\pi - 2\arctan\sqrt8$. ฉันเป็นคนตาบอดที่มองไม่เห็น2 .

Answer 1

ฉันคิดว่ามีข้อผิดพลาดสองประการในหนังสือของคุณ

ประการแรก $\theta$ ควรเป็นมุมแหลมเพราะเราพูดถึงมุมระหว่างแทนเจนต์และไม่ได้พูดถึงส่วนของสัมผัส แต่ $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

นอกจากนี้คำตอบของคุณ $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ เป็นความจริงและแม้กระทั่ง $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

หลังจากการแก้ไขของคุณเราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ ซึ่งเป็นเรื่องจริงเพราะ $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

Answer 2

ตามที่คุณได้รับมาแล้วไฟล์ $x$- ค่าของจุดสองจุดบนเส้นโค้งคือ $-\sqrt2$ และ $\sqrt2$ (ตามลำดับ $y$-มูลค่าของ $2$).

มาดู "สัมผัสที่ถูกต้อง" $\big($ที่ $(+\sqrt2,2)$$\ ใหญ่) $ . ในฐานะที่เป็นความชันของเส้นสัมผัสคือ$ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $มุมระหว่าง$ x $แกนและสัมผัสนี้คือ$ \ arctan \ sqrt8 $ ดังนั้นมุมระหว่างสัมผัสที่และที่$ Y $แกนเป็น$ {\ ปี่ \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ ในที่สุดคู่ของมุมคือมุมระหว่างสองเสียบ้างซึ่งแน่นอนคือ$ \ Pi-2 \ arctan \ sqrt8 $