หาผลรวมของลำดับจากผลรวมของเงื่อนไขที่เป็นคี่
ฉันต้องการคำนวณผลรวม $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ โดยใช้อนุกรมฟูริเยร์ของ $f(x)=|x|$ เกิน $(-\pi,\pi)$. สัมประสิทธิ์$b_k$ ทั้งหมด $0$ เพราะ $f$เป็นคู่ ทำสิ่งที่รวมฉันได้รับ:$$ a_0 = \pi $$ และ $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ สำหรับ $k>0$. ความเท่าเทียมกันของ Parseval ให้:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ ซึ่งจะช่วยให้ $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ ซึ่งทำให้ง่ายขึ้น $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ ซึ่งโดยทั่วไปกล่าวว่า: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ มีความคิดอย่างไรที่จะได้รับผลรวมจากที่นั่น?
คำตอบ
สังเกตว่าสิ่งที่คุณมีอยู่นั้น $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. โทร$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ คุณมีสิ่งนั้น $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ และในที่สุดคุณก็มี $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ จากที่ $S=\frac {\pi^4}{90}$
คุณมี
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$
คุณต้องการค้นหา
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือคุณต้องการเพิ่ม
$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$
แยกตัวประกอบก ${\frac{1}{2^4}}$ จากผลตอบแทนข้างต้น
$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$
โดยรวมแล้วถ้าคุณโทร ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ คุณมี
$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$
$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$
ตอนนี้คุณสามารถจัดเรียงใหม่สำหรับ ${S}$เหรอ?