เหตุใดลำดับนี้จึงไม่บรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ

Question

ในปัญหานี้มีคำอธิบายว่า $f_n(x)$เป็นจุดบรรจบกัน แต่ไม่บรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายว่าเหตุใดจึงไม่บรรจบกันโดยสิ้นเชิง อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจมันเมื่อฉันใช้ทฤษฎีบทด้านล่างฉันจะได้รับขีด จำกัด นั้น$f_n - f = 0$ อาจมีคนให้คำตอบโดยละเอียดเพิ่มเติมว่าทำไมลำดับจึงบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ

Answer 1

ตั้งแต่ $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, คุณมี $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. กล่าวอีกนัยหนึ่ง$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$และโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่เป็นความจริง$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. ดังนั้นการบรรจบกันจึงไม่สม่ำเสมอ

Answer 2

ครั้งแรกที่คุณจะต้องตรวจสอบpointwiseขีด จำกัด ปล่อย$x\in[0,1]$. สำหรับ$n>1/x$, $f_n(x)=0$ดังนั้นขีด จำกัด pointwise คือ $0$.

ตามคำอธิบายที่แสดงเรามี $\|f_n\|_\infty=n/4$. ด้วยประการฉะนี้$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ และการใช้ทฤษฎีบทที่คุณยกมาขีด จำกัด ของการเบี่ยงเบนซูพรีม่าจะเทียบเท่ากับ $f_n$ ไม่บรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ

Answer 3

ตามคำจำกัดความของการลู่เข้าของลำดับในช่องว่างที่เป็นบรรทัดฐาน (หรือในปริภูมิเมตริกทั่วไป) ลำดับ (fn) ไม่สามารถมาบรรจบกันเป็น f ได้เนื่องจาก norm (ในที่นี้คือ sup-norm) ของ (fn - f)> = 1/4 สำหรับทั้งหมด n.