หลักฐานของ $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$หมวดหมู่ที่อยู่ในชุด
เลม 3.34:สำหรับ$F,G,H$ Presheaves ในประเภท / ชุดที่ไม่ต่อเนื่อง: $$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$$
การพิสูจน์: เพียง 2 รูปแบบของหมวดหมู่ที่อยู่ในชุดคืออัตลักษณ์ (อ้างอิง:http://wwwf.imperial.ac.uk/~dg3215/other/stacks.pdf )
คำถาม:ฉันไม่ค่อยแน่ใจในการพิสูจน์ว่าพวกเขาใช้ประโยชน์จากหมวดหมู่ 2 รูปแบบที่อยู่ในชุดเป็นตัวตนในการพิสูจน์คำนาม
ความพยายาม: เราต้องการแสดงความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่ระหว่าง $\mathfrak{S}_{F \times_H G}$ และ $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$. ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบไฟเบอร์ตามนั้น$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ เพื่อทุกสิ่ง $S \in \mathfrak{S}$. โดย lemma$3.9$, $\mathfrak{S}_{F}$ เป็นหมวดหมู่ที่มีเส้นใยมากกว่า $\mathfrak{S}$ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถใช้ lemma ได้ $3.31$ ซึ่งใช้กับหมวดหมู่เส้นใยและรับ $\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ เพื่อทุกสิ่ง $S \in \mathfrak{S}$. เราได้รับ 1-morphism, isomorphism$\alpha: \mathfrak{S}_{F \times_H G} \cong \mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$และเราแสดงถึงการผกผันเป็น $\alpha^{-1}$. นี่คือความเท่าเทียมกันตั้งแต่ 2-morphism$(\alpha^{-1} \circ \alpha) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_{F \times_H G}}$เป็นเอกลักษณ์ดังนั้นจึงเป็น 2-isomorphism ในทำนองเดียวกัน$(\alpha \circ \alpha^{-1}) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G}$ เป็น 2-isomorphism
การเรียกคืน / สรุป (ตัวอย่าง 3.8 หน้า 17):
2 ประเภท $\mathfrak{S}_F$:
ปล่อย $F : \mathfrak{S}^{opp} \to Categories$เป็น functor (เช่น presheaf ของหมวดหมู่) เชื่อมโยงกับ$F$ หมวดหมู่เส้นใยต่อไปนี้ $\mathfrak{S}_F$ เกิน $\mathfrak{S}$: วัตถุเป็นของคู่กัน $(U,x)$ ของวัตถุ $U$ ใน $\mathfrak{S}$ และ $x \in F(U)$. Morphisms จาก$(U, x)$ ถึง $(V, y)$ เป็นคู่ $(f, \varphi)$ ของ morphisms $f : U \to V$ และ $\varphi : x \to f^* y$ที่เราเขียน $f^∗ := F(f)$. องค์ประกอบของ$(g, \psi : y \to g^∗z) \circ (f, \varphi : x \to f^∗y)$ ถูกกำหนดให้เป็น $(g \circ f, f^∗(\psi) \circ \varphi)$. การฉายภาพไปที่$\mathfrak{S}$ ลืมองค์ประกอบที่สองของคู่
คำตอบ
ดูเหมือนจะมีสองประเด็นของความสับสนในคำถาม
จุดที่ 1: เหตุใดหมวดหมู่ 2 รูปแบบเพียง 2 รูปแบบจึงอยู่ในชุดข้อมูลประจำตัว
อะไรคือ 2 morphism ของประเภท fibered?
ปล่อย $A$ เป็นหมวดหมู่ฐาน $P:B\to A$, $Q:C\to A$ หมวดหมู่ไฟเบอร์ (เกิน $A$), $F,G:P\to Q$ 1-morphisms ของประเภท fibered (เช่น functors เช่นนั้น $QF=QG=P$). จากนั้นเป็น 2 มอร์ฟีน$\alpha:F\to G$ เป็นการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติจาก $F$ ถึง $G$ ด้วยคุณสมบัติที่ $Q(\alpha_b)=1_{Pb}$ เพื่อทุกสิ่ง $b\in B$ (กล่าวคือ $\alpha_b$ อยู่ใน Q-fiber มากกว่า $Pb$ เพื่อทุกสิ่ง $b \in B$).
ในกรณีที่ $Q$ เป็นไฟในชุดตั้งแต่ $\alpha_b$ อยู่ในไฟล์ $Q$-fiber มากกว่า $Pb$ (ซึ่งไม่ต่อเนื่อง / ชุด) เรามีสิ่งนั้น $\alpha_b$เป็นมอร์ฟิสม์ประจำตัว ตั้งแต่$\alpha_b:Fb\to Gb$ เป็นมอร์ฟิซึ่มอัตลักษณ์เราสรุปได้ว่า $Fb=Gb$ เพื่อทุกสิ่ง $b\in B$และสำหรับทุกคน $f:b\to b'$แรงกำลังสองตามธรรมชาติ $Ff=Gf$ดังนั้น $F=G$และ $\alpha=1_F=1_G$.
กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า $Q$ มีเส้นใยที่ไม่ต่อเนื่องแล้วก็ประเภท hom $\mathbf{Fib/A}(P,Q)$ ยังไม่ต่อเนื่อง
จุดที่ 1.5: ผลกระทบของจุดที่ 1 สำหรับผลิตภัณฑ์ 2 ไฟเบอร์เทียบกับผลิตภัณฑ์ 1 ไฟเบอร์
อ้างสิทธิ์: ถ้า $R:D\to A$ เป็นประเภทเส้นใยที่มีเส้นใยไม่ต่อเนื่องและ $P:B\to A,Q:C\to A$ เป็นหมวดหมู่ไฟเบอร์โดยพลการและ $F:P\to R$, $G:Q\to R$ เป็น 1-morphisms ของประเภทที่เป็นเส้นใยจากนั้นผลิตภัณฑ์ 1-fiber $P\times_R^1 Q$ ในความเป็นจริงผลิตภัณฑ์ 2 เส้นใย $P\times_R^2 Q$.
นี่เป็นข้อพิสูจน์ง่ายๆ สมมติว่าฉันให้ตารางการเดินทาง 2 ช่อง$$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>>> P \\ @VVV @VVV \\ Q @>>> R, \\ \end{CD} $$ แล้วเพราะ $R$มีเส้นใยที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งเป็นเพียง 2 morphism เท่านั้นที่สามารถทำให้การเดินทางแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้เป็นตัวตนได้ดังนั้นจึงเป็น 1-commutes ดังนั้นจึงมี morphism ที่เป็นเอกลักษณ์$T\to P\times_R^1 Q$. ความเป็นเอกลักษณ์ของ morphism นี้รับประกันความเป็นเอกลักษณ์ได้ถึง isomorphism ดังนั้นสิ่งนี้จึงทำให้$P\times_R^1 Q$ ตอบสนองคุณสมบัติสากลของผลิตภัณฑ์ 2 เส้นใยของ $P$ และ $Q$ เกิน $R$.
หรือตรวจสอบว่าเมื่อใด $R$ มีเส้นใยที่ไม่ต่อเนื่องโครงสร้างที่ชัดเจนของ $P\times^2_R Q$ ลดสิ่งที่เป็น isomorphic ลงในโครงสร้างตามปกติ $P\times^1_R Q$.
จุดที่ 2: เหตุใดข้อเท็จจริงนี้จึงบ่งบอกถึงผลการอ้างสิทธิ์
ฉันจะใช้ $\int U$ เพื่อแสดงถึงหมวดหมู่ขององค์ประกอบ / โครงสร้างแบบ Grothendieck สำหรับ $U:A^{\text{op}}\to \mathbf{Cat}$เนื่องจากนี่เป็นสัญกรณ์มาตรฐานมากกว่าในประสบการณ์ของฉันอย่างน้อยสำหรับ Presheaves ที่มีมูลค่าเป็นชุด
เราต้องการแสดง $$\int U\times_{\int W} \int V\cong \int U\times_W V$$ ที่ไหน $U\overset{\phi}{\to} W \overset{\psi}{\leftarrow} V$ เป็นโคสปันของการกำหนดหมวดหมู่และ $W$ มีมูลค่าในประเภทที่ไม่ต่อเนื่อง
เรารู้ว่าผลิตภัณฑ์ไฟเบอร์ทางด้านซ้ายสามารถนำไปเป็นผลิตภัณฑ์ไฟเบอร์ 1 ได้เมื่อ $W$ เป็น presheaf ใน $\mathbf{Set}$. จากนั้นวัตถุทางด้านซ้ายมือจะเป็นสิ่งที่ดึงดูด$((a,u),(a,v))$ ด้วย $u\in U(a)$, $v\in V(a)$, ดังนั้น $\phi(u)=\psi(v)$และ morphisms จาก $((a,u),(a,v))$ ถึง $((a',u'),(a',v'))$ ทางด้านซ้ายมือคือสิ่งที่ดึงดูด $((f:a\to a',\alpha : u\to f^*u'),(f,\beta: v\to f^*v'))$, ดังนั้น $\phi(\alpha)=\psi(\beta)$.
ในทางกลับกันวัตถุทางด้านขวามือคือสิ่งที่ดึงดูดใจ $(a,(u,v))$ ด้วย $(u,v)\in (U\times_W V)(A)=U(A)\times_{W(A)} V(A)$และ morphisms $(a,(u,v))\to (a',(u',v'))$ ทางขวามือเป็นคู่ $(f:a\to a', (\alpha,\beta):(u,v)\to f^*(u',v'))$.
เมื่อเปรียบเทียบข้อมูลเราจะเห็นว่าทั้งสองด้านประกอบด้วยข้อมูลเดียวกันและเราสามารถให้ค่า isomorphism ระหว่างสองประเภทได้
หมายเหตุท้าย
เมื่อไหร่ $U$ และ $V$ ยังมีค่า Presheaves เป็นชุดซึ่งจะกลายเป็นเรื่องง่ายกว่าเดิมเนื่องจาก morphisms ทางด้านซ้ายเป็นเพียง $f:a\to a'$ ดังนั้น $u=f^*u'$, $v=f^*v'$และรูปทรงทางขวาก็เช่นกัน $f:a\to a'$ ดังนั้น $(u,v)=f^*(u',v')$.