หลักฐานสำหรับ $e\leq 3(v-2)$ [ทำไม $d(f) \geq 3$?]

Question

นี่คือทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี "สำหรับกราฟระนาบ $G$, ถ้า $v\geq3$ แล้ว $e\leq 3(v-2)$"

ฉันได้ทบทวนบันทึกคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องของฉันแล้วคำถามก็เข้ามาในใจฉัน

เมื่อเราพิสูจน์ $e\leq 3(v-2)$ สำหรับกราฟระนาบ $G$. เราใช้$d(f) \geq 3$.

ในบันทึกของฉันมันบอกเหตุผลว่าทำไม $d(f) \geq 3$ คือ "แต่ละใบหน้ามีขอบอย่างน้อยสามขอบ แต่ขอบแต่ละด้านมีขอบสองหน้า"

เมื่อแรกเห็นมันชัดเจนสำหรับฉัน แต่เวลาผ่านไปฉันสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนั้น

เพราะ ... ให้ฉันแนะนำตัวอย่างเคาน์เตอร์ด้านล่าง

กราฟด้านบนคือกราฟระนาบและ $v=3, e=2,f=1$. แต่$d(f) \lt 3$ (คือหน้าไม้ไม่มีขอบสามด้าน)

ฉันยังคงสับสนว่าฉันทำผิดอะไร

ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม

Answer 1

ตัวอย่างการตอบโต้ของคุณจะกล่าวถึงในคำตอบนี้ เนื่องจากขอบเป็นขอบเขตของใบหน้าเดียวกันในการพิสูจน์ "ขอบเขตของใบหน้า" จึงมีขอบ 4 ขอบ (แต่ละขอบจะถูกนับสองครั้ง)