homomorphisms รักษาลำดับของกลุ่มย่อยหรือไม่?
ฉันอ่านว่า homomorphism ที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวจาก $\mathbb{Z}_7$ ถึง $\mathbb{Z}_{12}$ คือการแมปองค์ประกอบทั้งหมดของ $\mathbb{Z}_7$ ถึง $\{0\}$. เนื่องจากถ้ามี homomorphism อื่นจาก$\mathbb{Z}_7$ ถึง $\mathbb{Z}_{12}$ต้องสามารถแมปกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญของ $\mathbb{Z}_7$ไปยังกลุ่มย่อยของ $\mathbb{Z}_{12}$. อย่างไรก็ตามนั่นหมายความว่า$\mathbb{Z}_{12}$ จะมีกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ $7$ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ฉันเดาว่าสิ่งที่บ่งบอกโดยนัยในข้อความข้างต้นก็คือ homomorphisms รักษาลำดับของกลุ่มย่อย ...
คำตอบ
มันไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป ปล่อย$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$ ให้โดย $f(x)=2x$. แผนที่$f$ เห็นได้ชัดว่าเป็น homomorphism แต่ไม่ได้รักษาลำดับของกลุ่มตัวเอง
ฉันคิดว่าคำสั่งนี้หมายถึงเนื่องจากมีเพียงกลุ่มย่อยของ $\mathbb Z_7$ คือ $\{0\}$ และกลุ่มเองเคอร์เนลของ homomorphism ที่ไม่สำคัญคือ $\{0\}$ดังนั้น homomorphism ที่ไม่สำคัญใด ๆ ก็คือการฉีด ซึ่งหมายความว่า$\mathbb Z_7$ isomorphic เป็นภาพของตัวมันเอง แต่สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากภาพของ homomorphism เป็นกลุ่มย่อยของ $\mathbb Z_{12}$ และกลุ่มนี้ไม่มีกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ $7$.