isomorphism เกี่ยวกับฟังก์ชันปกติของ von Neumann algebra
คำถามนี้มีที่มาจากหนังสือ "C * -algebras และกลุ่ม automorphism" ของ Pedersen (P55 Def 3.6.5)
ถ้า $M$ เป็นพีชคณิตของฟอนนอยมันน์ใน $B(H)$, ปล่อยให้ $T(H)$ แสดงถึงองค์ประกอบใน $B(H)$ ของคลาสการติดตามและชุด $N=\{x\in T(H)|~ Tr(ux)=0, \forall u\in M \}$. พิสูจน์:$T(H)/N\cong M_*$ (isomorphism isometric), $M_*$ หมายถึงการทำงานปกติทั้งหมดบน $M$.
หลักฐาน. จาก Theorem 3.6.4 ของหนังสือ Pedersen เราสามารถสร้างแผนที่ธรรมชาติได้จาก$T(H)/N$ ถึง $M_*$ โดย $$T(H)/N\longrightarrow M_*$$ $$x+N\longmapsto \phi$$ ที่ไหน $x$ เป็นตัวดำเนินการของคลาสการติดตามเช่นนั้น $\phi(y)=Tr(xy)$ สำหรับ $y\in M$. เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าแผนที่เชิงเส้นนี้มีความหมายเชิงอคติ และฉันสามารถตรวจสอบได้$||x+N||_1\leq||\phi||$ ตามความหมายของ $||.||_1$ และการสลายตัวของขั้วของ $M$. อย่างไรก็ตามวิธีการพิสูจน์$||x+N||_1\geq||\phi||$เหรอ? (ที่นี่$||.||_1:=Tr(|.|)$).
คำตอบ
ก่อนอื่นโปรดทราบว่าเรามีสำหรับ $a\in B(H)$ และ $b\in T(H)$ความไม่เท่าเทียมกันของHölder $$\tag1 |\operatorname{Tr}(ab)|\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). $$ อันที่จริงการเขียน $b=v|b|$ การสลายตัวของขั้วโลกเรามีโดย Cauchy-Schwarz \begin{align} |\operatorname{Tr}(ab)|&=|\operatorname{Tr}(av|b|^{1/2}\,|b|^{1/2})| \leq\operatorname{Tr}(|b|^{1/2}v^*a^*av|b|^{1/2})^{1/2}\operatorname{Tr}(|b|)^{1/2}\\[0.3cm] &\leq\|v^*a^*av\|^{1/2}\,\operatorname{Tr}(|b|)=\|av\|\,\operatorname{Tr}(|b|)\\[0.3cm] &\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). \end{align}
เนื่องจากแผนที่ผลหารเป็น $*$-homomorphism ให้ $z\in N$ เรามี $|x+z|=|x|+w$ สำหรับบางคน $w\in N$. แล้วถ้า$\|y\|=1$ และ $x=v|x|$ คือการสลายตัวของขั้ว $$ |\operatorname{Tr}(xy)|=\operatorname{Tr}(v^*|x|y)=\operatorname{Tr}((|x|+w)yv^*) =\operatorname{Tr}(|x+z|v^*y)\leq\|v^*y\|\,\operatorname{Tr}(|x+z|) \leq\operatorname{Tr}(|x+z|). $$ เท่านี้ก็สามารถทำได้แล้ว $z\in N$, เราได้รับ $$\|\phi\|=\sup\{|\operatorname{Tr}(xy)|:\ y\in M,\ \|y\|=1\}\leq\|x+N\|_1. $$