กำหนดการลู่เข้าของอนุกรม

Question

นี่คือซีรี่ส์: $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$ วิธีที่ฉันใช้ในการกำหนดชุดนี้คือการทดสอบเปรียบเทียบซึ่งฉันสร้างลำดับต่อไปนี้: $$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$ซึ่งสร้างอนุกรมคอนเวอร์เจนต์โดยแต่ละเทอมมีค่ามากกว่าคำศัพท์ในชุดด้านบนเพื่อให้ฉันพิจารณาว่าอนุกรมข้างบนบรรจบ อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้ว่าฉันคิดถูกหรือไม่ ดังนั้นหากฉันผิดโปรดบอกวิธีทำอย่างถูกต้องหรือหากฉันถูกต้องโปรดยืนยันกับฉันหรือให้วิธีอื่นในการพิจารณาการบรรจบกันของชุดด้านบนเพื่อการสนทนา ขอบคุณ.

Answer 1

ตามจริงแล้วเว้นแต่จะมีคำแนะนำที่ชัดเจนในการใช้การทดสอบบางอย่างฉันชอบที่จะคิดถึงอนุกรมประเภทนี้ในแง่ของการทดสอบการเปรียบเทียบขีด จำกัด (LCT)แทนการทดสอบเปรียบเทียบ (CT)

คำสั่งปกติของ LCT เป็นดังนี้: สมมติว่า $\{ a_n \}$ และ $\{ b_n\}$ เป็นลำดับกับ $a_n \ge 0$, $b_n > 0$ เพื่อทุกสิ่ง $n$. ถ้า$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$ มีอยู่และไม่ใช่ศูนย์แล้ว $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ มาบรรจบกันหรือแยกออกจากกัน

LCT ให้ความสำคัญกับทิศทางของอสมการน้อยลง (ไม่เหมือนกับ CT ที่คุณต้องตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันบางอย่างซึ่งอาจเป็นเรื่องที่น่ารำคาญ) และอื่น ๆ เกี่ยวกับ asymptotics ซึ่งทำให้มีประสิทธิภาพมากขึ้น สำหรับการมองหาความเหมาะสม$b_n$เพื่อใช้เป็นจุดเปรียบเทียบ? ความคิดปกติคือการมองไปที่คำที่โดดเด่นที่สุด (กล่าวคือคำที่ระเบิดถึงระยะอนันต์เร็วที่สุด) ในตัวเศษและตัวส่วน

ในตัวอย่างของคุณคำหลักในตัวเศษคือ $\sqrt{n}$ในขณะที่คำที่โดดเด่นในตัวส่วนคือ $n^8$. สิ่งนี้แนะนำให้เราใช้$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$ซึ่งใช้งานได้ดีที่นี่ เราได้รับ$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$และเรารู้ $\sum b_n$ มาบรรจบกันโดย $p$-ทดสอบ. ดังนั้นซีรีส์ดั้งเดิมก็เช่นกัน

Answer 2

วิธีนี้มีชื่อของตัวเองการทดสอบเปรียบเทียบโดยตรงและสถานะดังต่อไปนี้:

ถ้าซีรีส์ $\sum b_n$ มาบรรจบกันและ $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ สำหรับขนาดใหญ่เพียงพอ $ N \in \mathbb{N}, n> N$แล้ว $\sum a_n$ aslo มาบรรจบกัน

ถือ $\sum a_n \leqslant \sum b_n$ ถ้าเปรียบเทียบคือ $\forall n \in \mathbb{N}$.

ถ้า $\sum a_n$ แตกต่างแล้ว $\sum b_n$ แตกต่างกัน

ในหนังสือ: Murray H. Protter, Charles B.Jr. Morrey - Intermediate Calculus-Springer (2012) - หน้า 105, ทฤษฎีบท 9.

Answer 3

วิธีแก้ปัญหาของคุณใช้ได้ แต่คุณรู้สึกไม่ปลอดภัยเล็กน้อยให้ฉันแสดงให้ฉันเห็นว่าทำไมการทดสอบถึงได้ผล: ซีรีส์ $\sum_{k= 1}^\infty a_k$ตามความหมายแสดงถึงขีด จำกัด ของลำดับของผลรวมบางส่วน $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$สำหรับ $s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.

เมื่อแต่ละ $a_k$ เป็นบวกตามลำดับ $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$เป็นลำดับของจำนวนจริงบวกที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นว่ามันมาบรรจบกันหากมีขอบเขตเท่านั้น

ถ้า $a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$ มันง่ายที่จะเห็น $0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$ แต่ละ $k\in \mathbb N $และอื่น ๆ

$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$

$\Box$