กำลังพิสูจน์ว่ามีขีด จำกัด เทียบเท่ากับการแสดงว่ามูลค่าเป็นของจริง (จำกัด ) หรือไม่?
ฉันกำลังศึกษาการวิเคราะห์เต๋าฉันคำถามของฉันเกิดจากการพิสูจน์ผลลัพธ์โดยใช้กฎหมาย จำกัด นี่คือตัวอย่างจากประพจน์ 7.2.14 (c):
c) ให้ $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ เป็นอนุกรมของจำนวนจริงและปล่อยให้ $k\geq 0$เป็นจำนวนเต็ม หากเป็นหนึ่งในสองซีรีส์$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ และ $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ มาบรรจบกันแล้วอีกอันก็เป็นเช่นกันและเรามีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้ $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$
ความพยายามของฉันที่จะพิสูจน์: ให้ $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ และ $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$แล้วเราก็มี $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ เพื่อทุกสิ่ง $N\geq m+k$, (คำสั่งยังมีขึ้นเมื่อ $N<m+k$ ด้วย $T_N=0$ และ $S_N$ มีเงื่อนไขศูนย์ซ้ำซ้อนหลังดัชนี $N$ ) รับขีด จำกัด เป็น $N\to \infty$, เรามี $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ เนื่องจากผลรวม จำกัด เป็นอิสระบน $N$.
ตอนนี้สมมติ $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ มาบรรจบกับ $L$ แล้ว $\lim_{N\to\infty}S_N$ มีอยู่และเท่าเทียมกัน $L$และปล่อยให้ $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$เนื่องจากผลรวม จำกัด เป็นสิ่งที่มาบรรจบกันคำถามของฉันคือเราสามารถใช้สองผลลัพธ์ก่อนหน้าเพื่อสรุปว่า $\lim_{N\to\infty}T_N$ มีอยู่และเท่าเทียมกัน $L-M$.
หรือฉันควรจะพิสูจน์ว่า $S_N$ เป็นลำดับ Cauchy ถ้าและต่อเมื่อ $T_N$คือ? อีกครั้งฉันไม่ได้มองหาวิธีแก้ปัญหาหรือการตรวจสอบหลักฐานคำถามของฉันตามชื่อเรื่อง: กำลังพิสูจน์การมีอยู่ของขีด จำกัด ที่เทียบเท่ากับการแสดงว่าค่าของมัน จำกัด หรือไม่?
ในแง่ตรรกะมากขึ้นมีดังต่อไปนี้ $equivalence$ คำสั่ง true: มีขีด จำกัด $\longleftrightarrow$ ค่าขีด จำกัด $\in \mathbb{R}$.
ถ้าใช่ทำไมเราไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่ามีขีด จำกัด อยู่แล้วลองคำนวณค่าของมันและถ้าเป็นจริงก็สรุปว่ามีอยู่จริงเช่นในการประเมิน $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ และเท่ากับ $L$แล้ว $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ แล้วเราก็มี $(x-1)L=0$. ตั้งแต่$x=1$ สำหรับทุกความจริง $x$ เป็นเรื่องไร้สาระเราสรุปได้ว่า $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ เมื่อไหร่ $x\neq 1$. อย่างไรก็ตามเราทราบดีว่าเหตุผลข้างต้นเป็นเท็จเนื่องจากไม่มีขีด จำกัด ตั้งแต่แรก
คำตอบ
ก่อนอื่นฉันโหวต; ทำได้ดีแสดงให้เห็นอย่างสวยงาม
ฉันเห็นบางประเด็นที่การวิเคราะห์ของคุณต้องการการปรับปรุง:
(1)
คุณควรแสดงออก
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$
สิ่งนี้แตกต่างจากที่คุณเขียน
(2)
ดำเนินการตามแนวทางของคุณที่นี่ (ซึ่งฉันชอบ) โดยมีการแก้ไขข้างต้น
คำแรกใน RHS:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
เป็นผลรวมของจำนวนคำศัพท์คงที่ (ดังนั้นจึง จำกัด ) เนื่องจาก$m$ และ $k$ เป็น (ฉันถือว่า) ตัวเลขคงที่
ดังนั้นการใช้แนวทางของคุณฉันจะเขียนอย่างนั้น
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$กับ $S$ ไม่ขึ้นกับ$N$,
และการเขียนแล้ว$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $
แล้วสำหรับความเรียบง่ายของสัญกรณ์ที่ผมจะได้เขียน:
Let$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$
(3)
จากนั้นปัญหาจะลดลงเป็นการแสดงให้เห็นว่า$T$ จำกัด (แทนที่จะเป็นไม่มีที่สิ้นสุด) ถ้าและต่อเมื่อ $(T + S)$ มี จำกัด
นี่คือจุดรวมของปัญหาและนี่คือจุดที่คุณต้องการให้สัญชาตญาณของคุณขยายออกไป ข้างต้นในกรณีที่การยืนยันควรตรงไปตรงมาเพื่อสาธิตการใช้$\epsilon, \delta$ คำจำกัดความจากคลาสของคุณ re summation ไม่สิ้นสุด
เนื่องจากเป็นที่ชัดเจนว่า $\sum_{n=m}^N a_n = S + T_N.$
เอาไปจากที่นี่ได้ไหม