การใช้ Differentials (ไม่ใช่อนุพันธ์ย่อย) เพื่อพิสูจน์ว่า d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [ซ้ำกัน]
ฉันกำลังพยายามพิสูจน์ส่วนของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผันในภาพที่แนบมา ฉันได้ลองใช้ดิฟเฟอเรนเชียลแล้วแก้คอมโพเนนต์อื่น ๆ (ฉันต้องการแก้ด้วยวิธีนี้) พยายามแก้ตัวอย่างเช่น$\frac{d\theta}{dx}$ (ที่ด้านล่างซ้ายของเมทริกซ์ผกผัน [แนบด้านล่าง]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$จากนั้นสังเกตว่าเรากำลังถือ $r = constant$ดังนั้น $dr = 0$. ฉันเข้าใจ$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$ซึ่งอยู่ใกล้ ฉันใส่มันลงในเครื่องคิดเลขบางส่วนและสร้างขึ้น$\theta$ ฟังก์ชันของ x และ r $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. การ$\frac{\partial \theta}{\partial x}$ฉันได้รับคำตอบที่ถูกต้องเนื่องจาก r เป็นฟังก์ชันของ x และ y ถ้าฉันใช้ไฟล์$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ และรับบางส่วนที่ฉันได้รับสิ่งที่ฉันระบุไว้ข้างต้น ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). นอกจากนี้ฉันพยายามแทนที่ dr in$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ โดยใช้ $r^2=x^2+y^2$ โดยแทนที่ dr ด้วย $rdr = xdx + ydy$ที่ฉันคิดว่าสีย้อมคงที่ ซึ่งทำให้ฉันตอบผิด ฉันต้องการปรับปรุงความคิดเชิงตรรกะดังนั้นคำแนะนำเกี่ยวกับสิ่งที่ฉันทำก็จะดีเช่นกัน ขอขอบคุณ!
สรุป: ฉันพยายามพิสูจน์โดยใช้ดิฟเฟอเรนเชียล (ไม่ใช่บางส่วน) นั้น $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
คำตอบ
ปัญหาคือคุณไม่สามารถเขียนได้ $\frac{d\theta}{dx}$. ในอุณหพลศาสตร์มีสัญกรณ์ที่มีประโยชน์และสำคัญมาก พวกเขาเขียนอนุพันธ์บางส่วนพร้อมตัวห้อยเพื่อระบุว่าตัวแปรใดที่ถูกแก้ไข ตัวอย่างเช่นถ้าเรามี$z=f(x,y)$ และเราต้องการหาอนุพันธ์ของ $f$ ด้วยความเคารพ $x$, การแก้ไข $y$, พวกเราเขียน $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ นี่เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากเราอาจมีตัวแปรมากมายที่บินไปมาและสิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าตัวแปรใดได้รับการแก้ไข
ในตัวอย่างของคุณเราสามารถนึกถึง $(x,y)$ เป็นหน้าที่ของ $(r,\theta)$. แล้วถ้าเราเขียน$\partial x/\partial\theta$ซึ่งโดยปกติจะหมายถึง $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. เมื่อคุณแก้ไข$r$แล้วมันจะกลายเป็นจริง (เพราะเรากำลังทำแคลคูลัสหนึ่งมิติเป็นหลัก) $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ อย่างไรก็ตามคุณกำลังสับสนโดยพยายามคำนวณแทน $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$และนี่คือสัตว์ร้ายสองชนิดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องระมัดระวังในการติดตามตัวแปรอิสระ หากคุณเปลี่ยนแปลงกฎลูกโซ่จะเข้ามามากขึ้น
ขอย้ำอีกครั้งว่าคุณกำลังพยายามเปรียบเทียบ \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
ยังไงก็ขอเตือน โดยทั่วไปเราไม่มี$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา$x=r\cos\theta$, เรามี $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (ซึ่งเป็น $-y$). ในทางกลับกันตั้งแต่นั้นมา$\theta =\arctan(y/x)$ (อย่างน้อยสำหรับ $-\pi/2<\theta<\pi/2$), เรามี $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$ซึ่งแตกต่างจาก $-y$. นี่คือไฟล์$-\sin\theta/r$, แน่นอน. ความสัมพันธ์ที่ถูกต้องมาจากเมทริกซ์อนุพันธ์สมบูรณ์ (เรียกว่าจาโคเบียน) ซึ่งผกผัน$2\times 2$ เมทริกซ์
คุณสามารถทำสิ่งนี้ได้อย่างถูกต้องด้วยดิฟเฟอเรนเชียล (ในความเป็นจริงรูปแบบที่แตกต่างกัน) แต่คุณยังต้องติดตามว่าตัวแปรอิสระคือใคร และคุณต้องหยุดเขียนสิ่งต่างๆเช่น$d\theta/dx$ เว้นแต่ $\theta$จริงๆเป็นฟังก์ชั่นเพียงของตัวแปรหนึ่ง$x$. เพื่อให้ได้สูตรแรกของคุณคุณจะต้องเขียน$d\theta$ ในแง่ของธรรม $dx$ และ $dr$; เพื่อให้ได้วินาทีที่คุณต้องเขียน$d\theta$ ในแง่ของปกติ $dx$ และ $dy$. มันเป็นเพียงคำถามว่าตัวแปรอิสระsคืออะไร