การชี้แจงเกี่ยวกับพื้นที่เมตริกที่แยกออกจากกันทุกตัวมีฐานที่นับได้

Question

พิสูจน์ว่าทุกพื้นที่เมตริกที่แยกออกได้ (พูด X) มีฐานที่นับได้ (คำแนะนำ: ใช้พื้นที่ใกล้เคียงทั้งหมดด้วยรัศมีที่มีเหตุผลและอยู่ตรงกลางในชุดย่อยที่หนาแน่นนับได้ของ X)

คำถามของฉันคือจำเป็นต้องใช้รัศมีที่มีเหตุผลหรือไม่? ฉันหมายถึงเนื่องจากมีการระบุว่า X สามารถแยกออกได้ดังนั้นจึงมีชุดหนาแน่นที่นับได้ สำหรับการสร้างฐานเราจะใช้ชุดย่อยที่มีความหนาแน่นนับได้ดังกล่าวและเราสามารถพิจารณาลูกบอลที่มีจุดศูนย์กลางจากส่วนย่อยดังนั้นไม่ จำนวนลูกบอลจะยังคงสามารถนับได้ ฉันไม่เห็นว่าทำไมเราถึงต้องการรัศมีที่มีเหตุผล กรุณาชี้แจงเรื่องนี้

Answer 1

การใช้ลูกบอลเพียงลูกเดียวรอบแต่ละจุดในส่วนย่อยที่หนาแน่นจะไม่ให้ฐาน หากคุณปล่อยให้รัศมีเป็นไปตามอำเภอใจก็จะมีละแวกใกล้เคียงมากมายโดยทั่วไปนับไม่ได้ การรับลูกบอลด้วยรัศมีที่มีเหตุผลทำให้มีฐานที่นับได้ คุณสามารถใช้ชุดของรัศมีที่ไม่ใช่ศูนย์ที่นับได้โดยมีเงื่อนไขว่าสำหรับทุกๆ$\epsilon > 0$คุณรวมลูกบอลที่มีรัศมีน้อยกว่า $\epsilon$. เช่นคุณสามารถรับลูกบอลด้วยรัศมี$1/n$ สำหรับ $n = 1, 2, \ldots$.