การหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของฟังก์ชันที่คล้ายกับ Nesbitt's Inequality

Question

ปล่อย $x,$ $y,$ $z$เป็นจำนวนจริงบวก ค้นหาชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ$$f(x,y,z) = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}.$$

สิ่งนี้ดูเหมือนอย่างมากกับความไม่เท่าเทียมกันของ Nesbitt ซึ่งฉันได้ทำการวิจัยใหม่เกี่ยวกับปัญหานี้เพื่อค้นหา Nesbitt กล่าวว่าสำหรับความจริงเชิงบวก$a, b, c,$ แล้ว $$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}.$$อย่างไรก็ตามฉันทราบว่าฟังก์ชันที่ระบุในปัญหาไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกันกับการใช้ Nesbitt และคล้ายกัน ฉันนิ่งงันในการดำเนินการใด ๆ กับปัญหานี้เนื่องจากฉันได้ลองรวมตัวหารเพื่อสร้างเศษส่วนใหญ่หนึ่งตัวรวมทั้งการแทนที่ตัวแปรเพื่อลองเคลียร์ตัวส่วน ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือในการเริ่มต้นปัญหานี้

Answer 1

ฉันคิด $1 < f(x,y,z) < 2.$ แน่นอนเพราะ $$\frac{x}{x+y} \geqslant \frac{x}{x+y+z}.$$ ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นเมื่อ $x = 0$ หรือ $z = 0.$

ดังนั้น $$f(x,y,z) \geqslant \frac{x+y+z}{x+y+z} = 1.$$ แต่ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่เป็นบวกดังนั้น $f(x,y,z) > 1.$

อีก $$\frac{x}{x+y} < \frac{x+z}{x+y+z},$$ เทียบเท่ากับ $$\frac{yz}{(x+y)(x+y+z)}\geqslant 0.$$ ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นเมื่อ $yz=0.$ ดังนั้น $$f(x,y,z) < \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2.$$