การแก้ขีด จำกัด ต่อไปนี้

Question

ดังนั้นคำถามต่อไปนี้คือ:

ฉันสามารถแก้ไขได้บางส่วนนี่คือแนวทางของฉัน: ขีด จำกัด อยู่ในรูปแบบ $(A+B)/C$ ที่ไหน $A$ และ $B$ ทั้งสองแนวทาง $e^3$ ในขณะที่ $C$ แนวทาง $0$,

สิ่งนี้สามารถค้นพบได้โดยการประเมิน $A$ และ $B$ แยกกัน

ตอนนี้เราสามารถเขียนขีด จำกัด เป็น $$ \lim_{t \to 0} [(1+3t+2t^2)^{1/t} - e^3]/t -\lim_{t \to 0} [(1+3t-2t^2)^{1/t} - e^3]/t $$

แต่ฉันไม่สามารถประเมินขีด จำกัด ทั้งสองนี้ได้อย่างน้อยโดยใช้กฎ LH เนื่องจากอนุพันธ์ของตัวเศษเป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างยาว กรุณาแนะนำวิธีแก้ปัญหานี้เราขอขอบคุณความช่วยเหลือทั้งหมด

Answer 1

\begin{align} &\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{1/t}-(1+3t+2t^2)^{1/t}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{\frac{1}{3t+2t^2}\frac{3t+2t^2}{t}}-(1+3t-2t^2)^{\frac{1}{3t-2t^2}\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{\frac{3t+2t^2}{t}}-e^{\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=e^3\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{2t}-e^{-2t}\right]=\\ &\qquad=2e^3\lim_{t\to0}\left[\frac{e^{2t}-1}{2t}+\frac{e^{-2t}-1}{-2t}\right]=4e^3 \end{align}

Answer 2

$$A=(1+3t+2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(A)=\frac 1 t \log(1+3t+2t^2)$$ $$ \log(1+3t+2t^2)=3 t-\frac{5 t^2}{2}+3 t^3-\frac{17 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(A)=3-\frac{5 t}{2}+3 t^2-\frac{17 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e^3\left(1-\frac{5 t}{2}+\frac{49 t^2}{8}-\frac{689 t^3}{48}\right)+O\left(t^4\right) $$

$$B=(1+3t-2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(B)=\frac 1 t \log(1+3t-2t^2)$$ $$ \log(1+3t-2t^2)=3 t-\frac{13 t^2}{2}+15 t^3-\frac{161 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(B)=3-\frac{13 t}{2}+15 t^2-\frac{161 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$B=e^{\log(B)}=e^3\left(1-\frac{13 t}{2}+\frac{289 t^2}{8}-\frac{8809 t^3}{48} \right)+O\left(t^4\right) $$ $$A-B=4 e^3 t-30 e^3 t^2+\frac{1015 e^3 t^3}{6}+O\left(t^4\right)$$ $$\frac{A-B}t=4 e^3 -30 e^3 t+\frac{1015 e^3 t^2}{6}+O\left(t^3\right)$$ แสดงขีด จำกัด และวิธีการเข้าถึง

Answer 3

การใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์กับลอการิทึมธรรมชาติและเลขชี้กำลังเรามี \begin{align} (1+3t+2t^2)^{1/t} &=\exp{\left(\frac{\ln{(1+3t+2t^2)}}t\right)}\\ &=\exp{\left(\frac{(3t+2t^2)-(3t+2t^2)^2/2+o(t^2)}t\right)}\\ &=\exp{\left(3-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\exp{\left(-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right) \end{align} และในทำนองเดียวกันเราก็มี $$(1+3t-2t^2)^{1/t}=e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)$$ ดังนั้นขีด จำกัด ของคุณจึงเป็นเพียง \begin{align} \lim_{t\to0}\frac{e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right)-e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)}t &=\lim_{t\to0}\frac{4e^3t+o(t)}t\\ &=\lim_{t\to0}(4e^3+o(1))\\ &=\boxed{4e^3}\\ \end{align}