การกำหนดมิติของพลังงานในตัวของอิเล็กตรอนจากหนังสือของไรเดอร์
ฉันกำลังศึกษาเรื่องพลังงานในตัวของอิเล็กตรอนโดยใช้หนังสือเรียนของไรเดอร์ในหน้า 334 เราจะเห็น
การกำหนด $k'=k-pz$ และหลีกเลี่ยงคำว่า linear in $k'$(เพราะรวมเข้ากับศูนย์) ให้\ begin {สมการ} \ Sigma (p) = - เช่น ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu ({\ not} p - {\ not} p z + m) \ gamma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {(2 \ pi) ^ d} \ frac {1} {[k' ^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z (1 -z)] ^ 2}. \ label {r2.7} \ end {สมการ} [... ] อินทิกรัลนี้ดำเนินการด้วยความช่วยเหลือของสมการ (9A.5) โดยให้\ begin {สมการ} \ Sigma (p ) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2} \ end {สมการ}
สมการ 9A.5 คือ\ begin {สมการ} \ int \ frac {d ^ dp} {(p ^ 2 + 2pq-m ^ 2) ^ {\ alpha}} = (- 1) ^ {d / 2} \ imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha- \ frac {d} {2} \ right)} {\ Gamma (\ alpha)} \ frac {1} {[- q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ alpha-d / 2}}. \ tag {9A.5} \ end {equation}ฉันไม่เข้าใจว่าเขาใช้อินทิกรัลนี้ (9A.5) อย่างไรเพื่อให้ได้ผลลัพธ์\ begin {สมการ} \ Sigma (p) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2} } \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2 }. \ end {สมการ}โปรดช่วยฉันคิด
คำตอบ
เป็นเพียงเรื่องของการใช้ผลลัพธ์ (9A.5) กับอินทิกรัลใน $d^d k^\prime$. ในความเป็นจริงโทร$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ และใส่ $q=0$ ในอินทิกรัล (9A.5) $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$
ที่เราเพิ่งเปลี่ยนตัวแปรการรวมจาก $k^\prime$ ถึง $p$เพื่อให้ชัดเจนขึ้นจากผลลัพธ์ 9A 5. โดยใช้ความจริงที่ว่า$\Gamma(2) = 1$โดยใช้คำจำกัดความข้างต้นของ $M^2$ และทำให้คุณง่ายขึ้น $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ ที่เราใช้ความจริงที่ว่า $2^d = 4^{d/2}$
เปรียบเทียบปริพันธ์ที่สองในสมการแรกกับ ty he ในแกรนด์ใน 9A5 คุณจะเห็นว่า$\alpha \rightarrow 2$, $q \rightarrow 0$, $ -m^2 \rightarrow etc.$จะเปลี่ยนอินทิแกรมหนึ่งไปเป็นอีกอินทิเกรต การแทนที่เดียวกันใน rhs ของ 9A5 ควรให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ