การคาดหวังตามเงื่อนไขด้วยการปรับสภาพหลาย ๆ
สำหรับ rvs ใด ๆ $X$ และ $Y$:
$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$
แต่ดูเหมือนฉันจะไม่สามารถพิสูจน์เรื่องนี้ได้ ฉันลองใช้กฎของอดัมด้วยเงื่อนไขพิเศษ ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) แต่ดูเหมือนฉันจะไม่ไปไหนด้วย
สิ่งที่ฉันลองมีดังต่อไปนี้:
$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ ตั้งแต่เหตุการณ์ $X$ เกิดขึ้นและ $g(X)$ ที่เกิดขึ้นมีความเท่าเทียมกันการปรับสภาพทั้งสองอย่าง $X$ และ $g(X)$ก็เหมือนกับการปรับสภาพเพียงอย่างเดียว มีการตีความที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่?
นี่ยังหมายความว่าการปรับสภาพ $X$ หรือฟังก์ชั่นใด ๆ $g$ ของ $X$ เหมือนกัน ?
คำตอบ
นี่เป็นกรณีพิเศษของ Tower Property of Conditional Expectations ซึ่งยืนยันว่าถ้า $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ แล้ว $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ ใช้ตัวที่สองของความเท่าเทียมกันเหล่านี้ด้วย $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ และ $\mathcal F_2=\sigma(X)$.
อาร์กิวเมนต์ที่คุณมีอยู่แล้วเป็นอาร์กิวเมนต์เชิงทฤษฎีที่ไม่สามารถวัดได้ที่ค่อนข้างดี ฉันจะทำให้เป็นทางการด้านล่างนี้อาจช่วยให้มั่นใจเกี่ยวกับรายละเอียดบางอย่างได้
ใช้โครงสร้างอาร์กิวเมนต์ของคุณ: $g(X)=E[Y|X]$. แล้ว\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}โดยที่ (ก) ใช้กฎแห่งความคาดหวังซ้ำซาก (b) ใช้$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) ใช้$E[Z|Z]=Z$ สำหรับตัวแปรสุ่มใด ๆ $Z$. $\Box$
ขั้นตอนที่ (b) ตรวจสอบอย่างละเอียดมากขึ้นคือ: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ และนี่หมายความว่าโดยสัญชาตญาณถ้าเรารู้แล้ว $X$จากนั้นข้อมูลเพิ่มเติม $g(X)$ ไม่มีอะไรใหม่เพิ่ม
หมายเหตุ:
เปิดเครื่องปรับอากาศ $X$ โดยทั่วไปจะไม่เหมือนกับการปรับสภาพ $g(X)$แต่ใช้ได้กับปัญหานี้โดยเฉพาะ
การได้มาของทฤษฎีการวัดสามารถให้ได้ตามบรรทัดของความคิดเห็นแรกของฉันในคำตอบของคุณ คุณยังสามารถปรับ$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ อย่างเป็นทางการมากขึ้นโดยทฤษฎีการวัด ("พีชคณิตซิกมาที่สร้างโดย $(g(X),X)$ เหมือนกับพีชคณิตซิกมาที่สร้างโดย $X$").
นิยามทฤษฎีการวัดอย่างเป็นทางการพูดถึง "เวอร์ชัน" ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขและฉันไม่ได้ลงรายละเอียดในคำตอบนี้ (บางคนอาจต้องการแทนที่ความเท่าเทียมกันของฉันด้วยความเท่าเทียมที่ถือ "ด้วยความน่าจะเป็น 1")