การคำนวณ functor ที่ได้รับสำหรับโมดูลอย่างง่าย

Question

พิจารณา $M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ เป็น $R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$โมดูล. ฉันกำลังพยายามคำนวณว่าอะไร$Ext_{R}^n(M,M)$ มีไว้สำหรับทุกคน $M$. ด้วยเหตุนี้ฉันจึงปล่อยให้

$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$

เป็นความละเอียดฟรี (และด้วยเหตุนี้การฉายภาพ) ในการคำนวณ$Ext_{R}^n(M,M)$ตอนนี้ฉันใช้กลุ่ม homology ของ $$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$ ตั้งแต่ $\text{Hom}(R,M) \cong M$ด้านบนเป็นเพียงโซ่ $$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$ เพื่อให้เมล็ดพืชทั้งหมด $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ และภาพเป็นเพียง $0$ ดังนั้น $Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ เพื่อทุกสิ่ง $n$. ถูกต้องหรือไม่ฉันทำผิดพลาดเล็กน้อยหรือฉันเข้าใจผิดโดยพื้นฐานแล้วมีอะไรสำคัญ (หรือทั้งคู่!)

Answer 1

คุณทำผิดพลาดเล็กน้อยโปรดทราบว่าหากคุณมี functor ที่ถูกต้อง $F$และคุณต้องการคำนวณ $L_*F(X)$คุณใช้ความละเอียดแบบโปรเจกต์ $P_*\to X$ จากนั้นใช้ความคล้ายคลึงกันของ $F(P_*)$, ไม่ได้คล้ายคลึงกันของ$F(P_*\to X)$.

ข้อผิดพลาดเล็กน้อยของคุณคือบอกว่าคุณกำลังมองหากลุ่ม homology ของ $\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$

(โปรดทราบว่าแผนที่แรกจะถูกระบุด้วยตัวตน $\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$ไม่ใช่ด้วย $\times 3$เนื่องจากเป็นแบบคู่ของการฉายภาพ $\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)

คอมเพล็กซ์โซ่ที่มีความคล้ายคลึงกันที่คุณกำลังมองหาเท่านั้น $\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$อยู่ในนั้น อย่างไรก็ตามมันให้ผลลัพธ์ที่คุณพูด