การค้นหา $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$
$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ ขีด จำกัด นี้ตามวุลแฟรมเท่ากับ $0$.
นี่คืองานของฉันจนถึงตอนนี้
$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ เอาต์พุตคือ $\infty - \infty$ ซึ่งเป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอน
ต่อไปโดยพื้นฐานแล้วฉันเป็นตัวหารเดียวกัน: $\frac{1}{3}$ $((3x + 2x^3 - 2(x^2+1)^{\frac{3}{2}})$ และหัน $2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$ เป็นสิ่งที่ง่ายกว่าในการทำงานด้วย $2\sqrt{x^2+1}+2x^{2}\sqrt{x^2+1}$
ตอนนี้ขีด จำกัด คือ $\frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} ((3x + 2x^3-2\sqrt{x^2+1} -2x^{2}\sqrt{x^2+1})$ และนี่คือจุดที่ฉันต้องทำต่อไปและหลงทาง
คำตอบ
$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{\left(x+\frac{2}{3}x^3\right)^2-\frac{4}{9}(x^2+1)^3}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=$$ $$=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=\frac{-\frac{1}{3x}-\frac{4}{9x^3}}{\frac{1}{x^2} + \frac{2}{3}+ \frac{2(1+\frac{1}{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3}}\rightarrow0$$ สำหรับ $x\rightarrow+\infty.$
ก่อนอื่นให้สังเกต $$3x+2x^3-2(x^2+1)^{3/2}=\frac{3x^2+4}{-3x-2x^3-2\sqrt{x^2+1}-2x^2\sqrt{x^2+1}}.$$ ด้านบนเป็นกำลังสองในขณะที่ด้านล่างเติบโตตามลำดับของ $x^3$ดังนั้นขีด จำกัด คือ $x\to \infty$ เป็นศูนย์
โดยการประมาณแบบทวินาม
$$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=(x^2)^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac1{x^2}\right)^{\frac{3}{2}} = x^3+\frac32 x +O\left(\frac1{x}\right)\implies \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}+x+O\left(\frac1{x}\right)$$
ดังนั้น
$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=O\left(\frac1{x}\right)\to 0$$
คำแนะนำ:
WLOG $x=\tan y\implies y\to\dfrac\pi2$
$$\dfrac{3\tan y+2\tan^3y-2\sec^3y}3$$
$$=\dfrac{3\sin y\cos^2y+2\sin^3y-2}{3\cos^3y}$$
ตัวเศษ $$=3(1-\sin^2y)\sin y+2\sin^3y-2=\cdots=(1-\sin y)^2(2\sin y+1)$$
สุดท้ายใช้ $$\dfrac{1-\sin y}{\cos y}=\dfrac{\cos y}{1+\sin y}$$
คุณควรจำไว้ว่า $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, ตั้งแต่ $(c-d)(c+d)=c^2-d^2$. สิ่งนี้จะช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยรากที่สอง
แม้ว่าฉันจะไม่เข้าใจว่าคุณได้รับสิ่งที่คุณเขียนมาอย่างไรจากสิ่งที่ฉันเห็นว่าคุณควรได้รับ:
$$ x+ \frac{2x^3}{3}-\frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x +\frac{2}{3}\Big( \frac{x^6-(x^2+1)^3}{x^3 +(x^2+1)^{ \frac{3}{2} } } \Big)=x+\frac{2}{3}\frac{-3x^4-3x^2-1}{x^3+(x^2+1)^{ \frac{3}{2} }}$$
$$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}$$ สำหรับเทอมสุดท้ายปล่อยให้ $\frac{1}{x^2}=\epsilon$ และใช้การขยายทวินาม $$(1+\epsilon)^{3/2}=1+\frac{3 \epsilon }{2}+\frac{3 \epsilon ^2}{8}+O\left(\epsilon ^3\right)$$ แทนที่ $\epsilon$ โดย $\frac{1}{x^2}$ เพื่อทำ $$\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}=1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$$ $$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)\right)$$ $$A=-\frac{1}{4 x}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$$