การขยายตัวของรากที่สองของ Laurent
ฉันมีปัญหาสองส่วนต่อไปนี้:
(ก) พิสูจน์ว่า $(z^2 - 1)^{-1}$ มีรากที่สองการวิเคราะห์ใน $\mathbb{C} - [-1,1]$
(b) ค้นหาการขยายลอเรนต์ของรากที่สองการวิเคราะห์จากส่วน (a) บนโดเมน $\{a: |z| > 1 \}$โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ $z = 0$.
สำหรับส่วน (a) ฉันสังเกตว่าการเปลี่ยนแปลงของ mobius $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ แมปไฟล์ $\mathbb{C} - [-1,1]$ ไปยัง $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. ตั้งแต่$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ เชื่อมต่อกันง่ายๆและ $F$ ไม่ใช่ศูนย์ $\mathbb{C} - [-1,1]$เราสามารถกำหนดสาขาการวิเคราะห์มูลค่าเดียวของ $\sqrt{F(z)}$ บน $\mathbb{C} - [-1,1]$. จากนั้นโดยการคำนวณอย่างรวดเร็ว
$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$
คือรากที่สองการวิเคราะห์ของ $(z^2 - 1)^{-1}$ ใน $\mathbb{C} - [-1,1]$.
อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้ว่าจะไปเกี่ยวกับส่วน (b) ได้อย่างไร ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม
คำตอบ
โดยส่วนหนึ่ง $(a)$ เพราะ $|z|>1$, ถ้า $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ เราสามารถใช้สาขาหลักของลอการิทึมและเลือก $\sqrt {w^2}=w.$ จากนั้นด้วย $Z=1/z^2$ และสังเกตว่าทฤษฎีบททวินามใช้ได้สำหรับ $|z|>1,$ เราคำนวณ
$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$
$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$
ถ้า $\theta$ อยู่บนแกนจริงเชิงลบจากนั้นเลือกการตัดกิ่งตามนั้นและทำซ้ำการคำนวณด้านบนสำหรับ $0<\theta<2\pi$.
ฉันยังคิดว่าเราจะได้รับ $(a)$โดยวิธีประถมศึกษา เรามีคำจำกัดความ
$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. ฟังก์ชันนี้มีจุดสาขาที่$1$ และ $-1$ แต่ไม่ $\infty$ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้แผนภาพได้
การตั้งค่า $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ และ $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ และ $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$
และพิสูจน์การวิเคราะห์โดยการคำนวณโดยตรงขึ้นอยู่กับการพิจารณากรณีต่างๆ