การแลกเปลี่ยนระหว่างไฮเปอร์โวลูมและเส้นผ่านศูนย์กลางของ $d$- รูปทรงมิติที่มีกล่องขอบเขตที่เล็กที่สุดของไฮเปอร์คิวบิก

Question

ให้ใด ๆ $d$- รูปทรงมิติ $X$, ปล่อย $V(X)$ เป็นของมัน $d$- ปริมาณมิติและปล่อยให้ $\ell(X)$ เป็นความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ยาวที่สุดที่เชื่อมสองจุดของ $X$.

ปล่อย $\mathcal{S}_C$ เป็นชุดของทั้งหมด $d$- รูปทรงมิติที่กรอบขั้นต่ำคือ a $d$- ลูกบาศก์มิติ $C$. ฉันสนใจที่จะหาปริมาณการแลกเปลี่ยนระหว่าง$\frac{V(X)}{V(C)}$ และ $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ เกิน $X\in\mathcal{S}_C$ (อย่างไม่เป็นทางการเท่าไหร่ $\frac{V(X)}{V(C)}$ สามารถมีขนาดใหญ่ได้ในขณะที่ $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ เล็ก).

คำถาม:เราพิสูจน์ได้หรือไม่ว่าสำหรับ$d\gg 1$ และสำหรับทุกคน $X\in\mathcal{S}_C$ มีค่าคงที่ $c$ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะถือเสมอ? $$\left(\frac{V(X)}{V(C)}\right)^{\tfrac1d}\le c\cdot\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$$

Answer 1

ช่องนี้ยาวเกินไปหน่อยฉันจึงโพสต์เป็นคำตอบ

สถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุดคือเมื่อ $X$ คือจุดตัดของลูกบอลรัศมี $r\ge 1$ กับลูกบาศก์ $C=[-1,1]^d$. อันที่จริงถ้าเราใช้ร่างกายที่แตกต่างกัน$\frac{X-X}{2}$ ของร่างกายใด ๆ $X$ บรรจุอยู่ในลูกบาศก์และเส้นผ่านศูนย์กลาง $\ell=2r$เราจะได้รับร่างกายที่บรรจุอยู่ในลูกบาศก์และในลูกบอลแห่งรัศมี $r$และระดับเสียงจะไม่ลดลงโดย Brunn-Minkowski นอกจากนี้เนื่องจากร่างกายดังกล่าวมีลูกบอลหน่วยลูกบาศก์มาตรฐานจึงเป็นกล่องที่น้อยที่สุดสำหรับมัน ตั้งแต่$\frac{\sqrt n}r X\supset C$เราจะเห็นว่าสำหรับร่างกายนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะมีอยู่เสมอ

จะเป็นการดีที่จะหาค่าประมาณที่เหมาะสมสำหรับปริมาตรของจุดตัดนั้นเพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้นในระบบการปกครองเมื่อใด $r/\sqrt d$ คงที่และ $d\to\infty$, พูด.