การแปลงฟูเรียร์ของ $L^1$ ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อยู่ใน $L^1$ และหายไปเมื่อไม่มีที่สิ้นสุด $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันเช่นนั้น $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$พิสูจน์ว่าการแปลงฟูเรียร์ของ $f$ ข้อสังเกต $\hat{f}$ อยู่ใน $L^1 (\mathbb{R})$

ฉันรู้ว่า $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$แล้ว $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$แต่ฉันไม่รู้ว่าจะใช้เงื่อนไขที่อนุพันธ์หายไปที่อนันต์ได้อย่างไร ความคิดใด ๆ จะเป็นประโยชน์

Answer 1

สองคำใบ้:

ใช้ความจริงที่ว่า $f'$ มีขอบเขตเพื่อแสดงให้เห็นว่า $f' \in L^2$ และการใช้ Plancherel

โปรดทราบว่า $f'$ มีขอบเขตและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ เราเห็นว่า $f' \in L^2$. จากนั้น Plancherel ก็แสดงให้เห็นว่า$\hat{f'} \in L^2$. โปรดทราบว่า$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

ใช้ Cauchy Schwartz และสังเกตว่าสำหรับ $\omega \neq 0$ เรามี $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

สำหรับ $\omega \neq 0$ เรามี $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ และ Cauchy Schwartz ให้ $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.