การแปลงร่าง Observables, Griffiths ที่เข้าใจผิด, Intro. เป็น QM หรือคำจำกัดความอื่น
ในบทนำของ Griffiths ถึง QM 3rd, Sec. 6.2 การเปลี่ยนแปลงสิ่งที่สังเกตได้$Q$ โดยผู้ดำเนินการแปล $T$ พบว่าเป็น $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ เหมือนกันสำหรับตัวดำเนินการพาริตี $\Pi$ แทน $T$ เรามี $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.
แต่ในตำราอื่น ๆ เช่น Tannoudji, QM, 2nd ed, Vol. I ส่วนเสริมของบทที่ VI ส่วนเสริม B$_{VI}$, 5. การหมุนเวียนของสิ่งที่สังเกตได้และในคำถามอื่น ๆที่นี่และที่นี่การเปลี่ยนแปลงบนสิ่งที่สังเกตได้$A$ โดยการเปลี่ยนแปลงรวมกัน $U$ ควรจะเป็น $$ A' = UA\ U^\dagger $$ ที่ไหน $U$ตามที่ฉันเข้าใจควรเป็นการเปลี่ยนแปลงที่กระตือรือร้นเช่นเดียวกับ $T$ข้างบนและฉันคาดว่าทั้งสองสมการควรจะเหมือนกัน แต่ดูเหมือนว่าคำจำกัดความทั้งสองจะไม่เทียบเท่ากันหรือมีข้อผิดพลาดใด ๆ ?
เพิ่มแล้ว
คำจำกัดความของ Griffiths:
ตัวดำเนินการแปลงร่าง $\hat Q'$ ถูกกำหนดให้เป็นตัวดำเนินการที่ให้ค่าความคาดหวังเดียวกันในสถานะที่ไม่ได้แปล $\psi$ เช่นเดียวกับตัวดำเนินการ $\hat Q$ ในสถานะแปล $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$มีสองวิธีในการคำนวณผลของการแปลที่มีต่อค่าความคาดหวัง เราสามารถเปลี่ยนฟังก์ชันคลื่นในระยะทางหนึ่งได้ (ซึ่งเรียกว่าการแปลงแบบแอ็คทีฟ ) หรืออาจปล่อยให้ฟังก์ชันคลื่นอยู่ที่เดิมและเปลี่ยนจุดกำเนิดของระบบพิกัดของเราด้วยจำนวนที่เท่ากันในทิศทางตรงกันข้าม (การแปลงแบบพาสซีฟ ) ตัวดำเนินการ$\hat Q'$ เป็นตัวดำเนินการในระบบพิกัดที่เปลี่ยนแปลงนี้
การใช้ Eq. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$
Tannoudji นิยาม:
ให้เราถือว่าระบบอยู่ในสถานะเฉพาะ $|u_n\rangle$ ของ $A$: อุปกรณ์สำหรับวัด $A$ ในระบบนี้จะให้ผลลัพธ์ $a_n$ไม่ล้มเหลว. แต่ก่อนทำการวัดเราใช้การหมุนเวียน$\scr R$ไปยังระบบทางกายภาพและไปยังอุปกรณ์ตรวจวัดในเวลาเดียวกัน ตำแหน่งสัมพัทธ์ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นหากสังเกตได้$A$ ซึ่งเรากำลังพิจารณาอธิบายถึงปริมาณทางกายภาพที่แนบมากับระบบที่เราหมุนเท่านั้น (นั่นคือไม่ขึ้นกับระบบหรืออุปกรณ์อื่น ๆ ที่เราไม่ได้หมุน) จากนั้นในตำแหน่งใหม่อุปกรณ์วัดจะยังคงให้ผลลัพธ์เหมือนเดิม $a_n$ไม่ล้มเหลว. ตอนนี้หลังจากการหมุนอุปกรณ์โดยการวัดค่า$A'$และระบบอยู่ในสถานะ: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ เราจึงต้องมี: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ นั่นคือ: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$
โปรดทราบว่า $\scr R$ คือการหมุนพื้นที่ 3 มิติทางกายภาพและ $R$ เป็นผู้ดำเนินการตัวแทนในอวกาศฮิลเบิร์ต
คำตอบ
มีสองความคิดที่แตกต่างกันทางกายภาพที่มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันเมื่อกำหนดการกระทำ (ที่ใช้งาน ) ของสมมาตรบนสิ่งที่สังเกตได้ในฟิสิกส์ควอนตัม
สมมติว่าตามทฤษฎีบทวิกเนอร์ ,$U$ คือการแปลงเวกเตอร์สถานะแบบรวมหรือต่อต้านการรวมกันของเวกเตอร์สถานะ $\psi$สอดคล้องกับการกระทำที่ใช้งานอยู่กับสถานะของระบบควอนตัม
ถ้า $A$เป็นที่สังเกตได้เรามีการดำเนินการคู่ ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$และการดำเนินการคู่ผกผัน $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$
อดีตมีความหมายของการดำเนินการกับเครื่องมือวัดทางกายภาพเพื่อให้ผลกระทบต่อผลลัพธ์ของสถานะที่ไม่เปลี่ยนแปลงนั้นเหมือนกับผลลัพธ์ของสถานะที่เปลี่ยนแปลงในสิ่งที่สังเกตได้ที่ไม่เปลี่ยนแปลง เช่นแทนที่จะแปลระบบพร้อม$x$ฉันแปลเครื่องดนตรีไปด้วย $-x$.
หลังมีความหมายของการกระทำกับเครื่องมือวัดซึ่งยกเลิกการกระทำของสมมาตรในระบบเท่าที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ของการวัด
การพิสูจน์ข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นเรื่องเล็กน้อยจากพิธีการ QM ขั้นพื้นฐาน (ดูหมายเหตุสุดท้าย)
มีความแตกต่างทางคณิตศาสตร์พื้นฐานเมื่อกล่าวถึงการกระทำของกลุ่มสมมาตร $G$ แสดงโดยการแทนแบบรวม (หรือแบบโปรเจ็กทีฟแบบรวม) บนเวกเตอร์สถานะ $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ ตามปกติ (ถึงเฟส) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ ที่ไหน $\circ$ เป็นสินค้าใน $G$ และ $e$เป็นองค์ประกอบประจำตัว ต่อจากนี้ไปฉันใช้ชวเลข$S_g := S_{U_g}$ และในทำนองเดียวกันสำหรับ $S^*$.
การดำเนินการคู่แบบผกผันกำหนดการแสดงที่เหมาะสมของ $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ ในขณะที่การกระทำคู่เป็นการกำหนดตัวแทนด้านซ้าย $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$การใช้การกระทำอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นเรื่องของความสะดวกและขึ้นอยู่กับการตีความทางกายภาพ ใน QFT การกระทำตามธรรมชาติของกลุ่มไอโซเมตริกของกาลอวกาศบนวัตถุที่สังเกตได้มักจะถูกนำมาใช้ผ่าน$S^*$.
หมายเหตุ .
ถ้า $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ คือการสลายตัวของสเปกตรัมของตัวดำเนินการ selfadjoint $A$ และ $U$ เป็นผู้ดำเนินการรวมหรือต่อต้านการรวมกันแล้ว $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการวัดสเปกตรัม $P^{(UAU^{-1})}(E)$ ของ $UAU^{-1}$ เป็นเพียง $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของ $A$ อยู่ใน $E\subset \mathbb{R}$ เมื่อสถานะถูกแทนด้วยเวกเตอร์หน่วย $\psi$ คือ $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ ทำให้เกิดการตีความดังกล่าวของ $S_U(A)$: ทำหน้าที่ $A$ ด้วย $S_U$ และการปล่อยให้สถานะคงที่จะเทียบเท่ากับการดำเนินการ $\psi$ ด้วย $U$ และจากไป $A$ ไม่เปลี่ยนแปลง
โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับค่าความคาดหวัง $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$
ในทำนองเดียวกัน $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ ทำให้เกิดการตีความดังกล่าวของ $S^*_U(A)$: การดำเนินการ $A$ ด้วย $S_U^*$ ยกเลิกการดำเนินการของ $U$ บน $\psi$.
โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับค่าความคาดหวัง $$\langle U\psi| S^*_U(A) U\psi \rangle = \langle\psi| A \psi \rangle$$