การเปลี่ยนทิศทางของการรวม

Question

ฉันต้องการเปลี่ยนทิศทางของอินทิกรัล:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

จากสิ่งที่ฉันรู้ฉันต้องหารูปร่างก่อน:

$0.5y^2 = x$ และ $\sqrt{3-y^2} =x$

รูปร่าง I คือพาราโบลา: $y^2 = 2x$
รูปร่าง II เป็นวงกลม $x^2 + y^2 = 3$ (รัศมีของ $\sqrt{3}$)

โดยพื้นฐานแล้วเราวาดลูกศรแนวนอนจากพาราโบลาไปยังวงกลมในขณะที่เราเก็บไว้ $0 \leq y \leq 1$.

สิ่งที่ดูคล้ายกับภาพนี้มาก:

เราจำเป็นต้องวาดเส้นแนวตั้งจึงมีลักษณะเช่นนี้ แต่เรามี 3 ส่วน:

1. จุดที่เราชนพาราโบลา (สีแดง)
2. ที่เราตีเส้น $y=1$ (เขียว)
3. ที่เราตีวงกลม (สีน้ำเงิน)

ดังนั้นคำตอบสุดท้ายของฉันคือ:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

ฉันอยู่ตรงนี้หรือเปล่า? ถ้าฉันไม่เป็นฉันจะแก้ไขได้อย่างไร? ฉันรู้สึกติดขัดเพราะไม่รู้ว่าจะไปต่ออย่างไร ... ขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ! ขอบคุณ!

Answer 1

สิ่งที่คุณทำนั้นถูกต้อง คุณทำเสร็จแล้ว

ตรวจสอบการทำงานของคุณ $y=1$ ตัด $0.5y^2=x$ ที่ $x=0.5$. (ตรงกับพื้นที่สีส้ม$0.5y^2=x$ เทียบเท่ากับ $y=\sqrt{2x}$ เมื่อไหร่ $y>0$.

นอกจากนี้ $y=1$ ตัด $\sqrt{3-y^2}=x$ ที่ $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ เทียบเท่ากับ $y=\sqrt{3-x^2}$ เมื่อไหร่ $y>0$.

ขอบเขตล่างอยู่เสมอ $y=0$.

คุณยังสามารถแสดงออกอย่างกะทัดรัดเป็น

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

การประเมินเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับรายละเอียดของ $f$. หนึ่งในแรงจูงใจที่เป็นไปได้ในการดำเนินการเปลี่ยนลำดับอินทิกรัลคือรูปแบบของ$f$ ง่ายต่อการรวมในลำดับที่แน่นอน

หมายเหตุ: ขึ้นอยู่กับชุมชนของคุณบางคนเขียนว่า

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$