การเปรียบเทียบเซตของราคาคู่กับเซตอื่น ๆ เหตุใดจึงมีค่าสูงสุดและต่ำสุด
ฉันถ่ายไป 2 เซ็ต: อันแรกคือลิสต์ไพรม์คู่แรกของคู่แฝด รายการที่สองเป็นรายการลำดับต่อเนื่องดังนี้ 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ....
จากนั้นฉันได้เปรียบเทียบระหว่างรายการโดยการหารตัวเลขของรายการที่สองกับหมายเลขของรายการแรกและมีอัตราการกระจายตัวที่คงที่ (ดังที่เห็นในภาพด้านล่าง)
หากคุณวิเคราะห์ข้อมูล (ดังที่เห็นในภาพด้านล่าง) คุณจะสังเกตเห็นว่า:
หากความผันผวนของคอลัมน์ E สูงเกินไป (โดยปกติจะสูงกว่า 1.1) คู่แฝด "ถัดไป" จะต้องมีขนาดเล็กกว่าคู่ "ปัจจุบัน:" จึงทำให้เกิดข้อผิดพลาด
นอกจากนี้คุณยังสังเกตได้ว่าความผันผวนของคอลัมน์ E จะไม่ต่ำเกินไป (อาจไม่น้อยกว่า 0.99 หลังจากไม่กี่ร้อยแรก)
ปรากฏการณ์เดียวกันนี้จะเกิดขึ้นถ้าฉันแทนที่คอลัมน์ C ด้วยกำลังสอง 1,4,9,16, ... หรือด้วยพหุนามกำลังสองโดยพลการ
เมื่อแทนที่คอลัมน์ C ด้วยค่าคงที่เท่ากับ 1 ค่าสูงสุดจะไม่ผ่าน 1 (ชัดเจน) อย่างไรก็ตามหลังจากสองสามร้อยแรกค่าขั้นต่ำอีกครั้งอาจไม่ต่ำกว่า 0.99
ใครช่วยให้คำอธิบายทางทฤษฎีแก่ฉันได้บ้างว่าทำไมถึงเป็นเช่นนี้?
รายชื่อ 100,000 แรกพร้อมคอลัมน์ C: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
รายชื่อ 100,000 แรกที่มีคอลัมน์ C: ด้วยช่องสี่เหลี่ยม 1,4,9,16,25 ...
รายการ 100,000 แรกที่มีคอลัมน์ C: ค่าคงที่ = 1
ขอบคุณ.
คำตอบ
อะไรคือแรงจูงใจของการคำนวณที่ยุ่งเหยิงนี้?
ปล่อย $B_2=3,B_3=5,\cdots $เป็นลำดับของ "สมาชิกคนแรกของคู่ไพรม์คู่" ด้วยเหตุผลบางประการเริ่มต้นที่ดัชนี$2.$ เราไม่รู้ว่านี่เป็นลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่สงสัยอย่างยิ่งว่ามันเป็นเช่นนั้น $B_n \approx k n (\ln n)^2$ สำหรับค่าคงที่ $k.$ มีการคาดเดาเกี่ยวกับ $k$แต่นั่นแทบไม่สำคัญที่นี่ ดังนั้นสำหรับคำอธิบายที่เป็นไปได้เราสามารถพูดได้ว่า$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ มากกว่าแน่นอน $1$แต่เข้าใกล้ด้วยอัตราก้าวเฉลี่ยคงที่ อาจจะด้วย$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ หรือจะประมาทเป็นพิเศษ $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
ตัวเลข $E_n$ คุณกำลังวิเคราะห์อยู่อย่างแน่นอน $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ ดังนั้นจึงมีคำอธิบายของคุณว่าทำไมบางครั้งถึงอยู่เหนือ $1$ และบางครั้งด้านล่างมีการบรรจบกันเป็น $1.$
Digression: หลังจากสองสามคู่แรกสมาชิกทุกคนของลำดับคือ $11,17$ หรือ $29 \bmod 30.$บางทีสิ่งนี้อาจทำให้เกิดความไม่เป็นระเบียบเล็กน้อย ฉันไม่รู้ คุณอาจตรวจสอบว่า over vs under$1$ พฤติกรรมมีความสัมพันธ์กับระดับความสอดคล้องกัน $\bmod 30$ การเป็น $11$ เทียบกับ $17$ หรือ $29.$ ถ้าเป็นเช่นนั้นพฤติกรรมนี้ดูเหมือนจะดำเนินต่อไปหรือตายไปแล้ว?
ลำดับ $C_1=1,C_2=3,\cdots $ ของตัวเลขสามเหลี่ยมมี $C_n=\frac{n(n+1)}2$ ดังนั้น $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ เป๊ะ
คุณกำหนด $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ แล้วสำหรับ $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
หากคุณใช้ primes แทนด้วย $p_n \approx n\ln n,$ผลลัพธ์ควรจะเท่ากันอาจจะขาด ๆ หาย ๆ ถ้าแทนตัวเลขสามเหลี่ยมคุณใช้กำลังสองคุณจะมี$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ ซึ่งอยู่ใกล้กับ $\frac{n-1}{n+1}$
ขั้นตอนต่อไปของการเพิ่มคำที่ต่อเนื่องกันของคอลัมน์ก่อนหน้าหรือการรับอัตราส่วนจะทำให้ลำดับที่มาบรรจบกันหรือเติบโตขึ้น $n.$