การพิสูจน์แคลคูลัสเทนเซอร์ของจุดทอร์ริเชลลี?

Aug 17 2020

ในวิดีโอการบรรยายเรื่องแคลคูลัสเทนเซอร์ประมาณ 2:36 เขาใช้การไล่ระดับสีของ "ฟังก์ชันความยาว" ทางเรขาคณิตซึ่งเพิ่มความยาวออกไปด้านนอก แต่ฉันไม่เข้าใจทิศทางที่ลาดควรอยู่? จุดต่างๆมีการไล่ระดับสีต่างกันหรือไม่ แล้วเทคนิคในการกำหนดฟังก์ชันจากสามจุดคืออะไร?

ฉันคิดจะสร้างพยายามอธิบายว่าเขาทำอะไรโดยใช้พิกัดดังนี้:

รับสามคะแนน $ A_1,A_2,A_3$

จากจุดคงที่ทั้งสามนี้เราหาจุดหนึ่งในสามเหลี่ยม $ (x,y)$

ปล่อย $d(A_i(x,y))$ อยู่ห่างจากจุดของเราจากจุดยอด A เป้าหมายของเราคือการลด:

$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$

สมมติว่าเราใช้การไล่ระดับสีของทั้งสองด้านและตั้งค่าทางซ้ายเป็นศูนย์เราจะได้

$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$

หรือ,

$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$

และจุดที่เวกเตอร์สามหน่วยของ $ d(A_i (x,y))$ไปที่ศูนย์คือจุด Torricelli ของเรา แต่ฉันไม่ค่อยเข้าใจว่าเขากำหนดฟังก์ชันตามระยะทางจากจุดยอดอย่างไร คุณสมบัติทางเทคนิคของสิ่งนี้คืออะไร?

นอกจากนี้ฉันไม่พบหลักฐานที่คล้ายกันทางออนไลน์นี่ไม่ใช่หลักฐานที่มีการจัดทำเป็นเอกสารอย่างดีหรือไม่?

แก้ไข: หากคิดเพิ่มเติมฉันสามารถใช้วิธีการที่คล้ายกันนี้เพื่อค้นหา 'จุด Torricelli' ของรูปร่างที่ซับซ้อนกว่านี้ได้หรือไม่? ดูเหมือนว่ามันควรจะทำได้อย่างง่ายดายด้วยหลักการเดียวกัน

ตัวอย่างเช่นการหา 'จุด toricelli' ของรูปห้าเหลี่ยมจะลดปัญหาในการหาวิธีจัดเรียงเวกเตอร์ 5 หน่วยโดยให้ผลรวมเป็นศูนย์ดังที่แสดงด้านล่าง พูดเพิ่มเติมว่าโดยทั่วไปแล้วเราจะพบการจัดเรียงที่เพิ่มเป็นศูนย์ได้อย่างไร?

คำตอบ

1 Max Aug 29 2020 at 05:42

มีคำถามมากมาย มาลองทำรายการ

  1. "จุดต่างๆมีการไล่ระดับสีต่างกันหรือไม่"

ใช่. การไล่ระดับสีของฟังก์ชันคือฟิลด์เวกเตอร์ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์แตกต่างกันไปในรูปแบบชี้ต่อจุด

  1. "แต่ฉันไม่เข้าใจทิศทางที่ควรจะไล่ระดับสี?"

"ฉันไม่ค่อยเข้าใจว่าเขากำหนดฟังก์ชันตามระยะทางจากจุดยอดอย่างไรคุณสมบัติทางเทคนิคของสิ่งนี้คืออะไร"

ในทางเรขาคณิตเรามีคุณสมบัติ 2 ประการของการไล่ระดับสี:

ก) จุดไล่ระดับในทิศทางของการเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดของฟังก์ชัน

สำหรับฟังก์ชัน "ระยะทางถึง O" ทิศทางของการเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดที่ P บางส่วน (ตามคำตอบของส่วนที่ 1 ค่านี้จะแตกต่างกันไปเนื่องจาก P แตกต่างกันไป) คือทิศทางของการเคลื่อนที่ไปตามรังสี OP "ออกจาก O" อีกครั้งทิศทางนี้แตกต่างกันไปเมื่อเราเปลี่ยน P

b) ขนาดของการไล่ระดับสีคือการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันต่อขั้นตอนในทิศทางของการไล่ระดับสี (ในขีด จำกัด ของขั้นตอนที่เล็กมาก)

สำหรับ "ระยะห่างจาก O" สิ่งนี้คือเราควรคำนวณว่า "ระยะห่างจาก O" เปลี่ยนแปลงไปเท่าใดเมื่อเราก้าวไปตามขนาด $\Delta$พร้อม ray OP คำตอบคือ$\Delta$. อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันตามขนาดขั้นตอนคือ 1 ดังนั้นเวกเตอร์การไล่ระดับสีจึงมีความยาว 1 (สำหรับ P ใด ๆ )

หรือคุณสามารถเขียน $f(P)=|OP|$และไล่ระดับสี สมมติว่า O เป็นจุดที่มีพิกัด (คงที่)$(x_0, y_0)$ และ $P$ มีพิกัดตัวแปร $(x, y)$.

เพื่อคำนวณการไล่ระดับสีของ $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ เราใช้ความจริงที่ว่าระยะห่างกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่ดีกว่าระยะทาง (being $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$ดังนั้นพหุนามกำลังสอง) ดังนั้นเราจึงใช้กฎลูกโซ่$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; และ$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. สิ่งนี้ช่วยให้$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$หรือที่เรียกว่าเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตาม ray OP เหมือนกับที่เราได้รับจากการให้เหตุผลทางเรขาคณิตด้านบน

  1. "ฉันจะใช้วิธีที่คล้ายกันนี้ในการค้นหา 'จุด Torricelli' ของรูปทรงที่ซับซ้อนกว่านี้ได้ไหม"

ส่วนที่ 'จุดทอร์ริเชลลี' คือส่วนที่เวกเตอร์หน่วยจากจุดไปยังจุดยอดรวมเป็นศูนย์นั้นเหมือนกันและด้วยเหตุผลเดียวกัน ปัญหาคือสำหรับเวกเตอร์ 3 ตัววิธีเดียวที่จะเป็นจริงได้ก็คือทั้งหมดมีมุม 120 ระหว่างเวกเตอร์คู่ใด ๆ ดังนั้นจุดทอร์ริเชลลีจะต้องมีคุณสมบัติ "120 องศา" นี้ สำหรับเวกเตอร์ที่มีจำนวนสูงกว่านี้จะมีการกำหนดค่าเวกเตอร์หน่วยที่เป็นไปได้มากมายซึ่งรวมได้เป็นศูนย์ ดังนั้นเงื่อนไข "เวกเตอร์รวมเป็นศูนย์" จึงมีข้อ จำกัด น้อยกว่ามาก มันจะต้องรวมกันด้วยวิธีที่ไม่สำคัญบางอย่างโดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์เหล่านี้ชี้จาก P ไปยังจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมของเรา ยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันในทันทีว่าจะทำอย่างไร

  1. "ตัวอย่างเช่นการหา" จุด toricelli "ของรูปห้าเหลี่ยมจะช่วยลดปัญหาในการหาวิธีจัดเรียงเวกเตอร์ 5 หน่วยโดยให้ผลรวมเป็นศูนย์ดังที่แสดงด้านล่างหากพูดเพิ่มเติมว่าโดยทั่วไปแล้วเราจะพบการจัดเรียงที่เพิ่ม เป็นศูนย์? "

แม่นยำ. สำหรับเวกเตอร์ 5 เวกเตอร์คุณสามารถจัดเตรียมหลาย ๆ แบบได้อย่างง่ายดาย: การรวมเวกเตอร์ 2 หน่วยเราจะได้เวกเตอร์ในทิศทางที่กำหนดขนาดใดก็ได้ระหว่าง 0 ถึง 2 ตอนนี้ให้นำสามเหลี่ยมใดก็ได้ที่มีด้านใดด้านหนึ่ง$\vec{v}$ ของขนาด 1 และอีกสองขนาดระหว่าง 0 ถึง 2 ทำให้ทั้งสองด้านเป็น "อื่น" โดยการรวมเวกเตอร์หน่วยคู่บางคู่และสุดท้ายเพิ่มเวกเตอร์หน่วยสุดท้ายเท่ากับ $\vec{v}$. ผลรวมทั้งหมดของเวกเตอร์ 5 เวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์ 3 ตัวที่ประกอบเป็นสามเหลี่ยมกล่าวคือ$\vec{0}$.

ตอนนี้สำหรับการกำหนดค่าแบบสุ่มประเภทนี้คุณจะไม่พบจุด P ซึ่งทำให้เวกเตอร์จากจุดนั้นไปยังจุดยอดทั้ง 5 ของคุณทำการกำหนดค่านี้ ดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าจะหา "จุด Torricelli" ของรูปห้าเหลี่ยมโดยใช้วิธีนี้ได้อย่างไร