การพิสูจน์ขีด จำกัด โดยใช้นิยามของขีด จำกัด
นี่คือคำถาม (ระบุไว้สำหรับบริบท) เกี่ยวกับการพิสูจน์ขีด จำกัด โดยใช้คำจำกัดความของขีด จำกัด :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left({x^2} + x - 11\right) = 9$
มาเริ่มกันเลย ปล่อย$\varepsilon > 0$ เป็นตัวเลขใด ๆ เราต้องหาตัวเลข $\delta > 0$ เพื่อให้สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง
$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 4} \right| < \delta$
ทำให้ง่ายขึ้นเล็กน้อย
$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| = \left| {{x^2} + x - 20} \right| = \left| {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 4} \right)} \right| = \left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$
ถ้าบังเอิญเราแสดงให้เห็นได้ $\left| {x + 5} \right| < K$ สำหรับบางหมายเลข $K$ จากนั้นเราจะมีสิ่งต่อไปนี้
$\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < K\left| {x - 4} \right|$
หากตอนนี้เราคิดว่าสิ่งที่เราต้องการแสดงคือ $K\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ แทน $\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้
$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K}$
ทั้งหมดนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่เราสามารถแสดงได้ $\left| {x + 5} \right| < K$ สำหรับบางคน $K$. ในการทำเช่นนี้เราถือว่าอะไรก็ตาม$x$ มันต้องอยู่ใกล้ ๆ $x=4$เนื่องจากเรากำลังดำเนินการอย่าง จำกัด สมมติว่า$x$ อยู่ในระยะห่างจากหนึ่งใน $x=4$. ในแง่ของความไม่เท่าเทียมกันเราสามารถสันนิษฐานได้
$\left| {x - 4} \right| < 1$
เริ่มต้นด้วยการลบแถบค่าสัมบูรณ์ที่เรามี
$- 1 < x - 4 < 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3 < x < 5$
ถ้าเราบวก 5 เข้าไปในทุกส่วนของอสมการนี้ที่เราได้
$8 < x + 5 < 10$
ตอนนี้ตั้งแต่ $x + 5 > 8 > 0$ (ส่วนบวกเป็นสิ่งสำคัญที่นี่) เราสามารถพูดได้ว่ามีให้ $\left| {x - 4} \right| < 1$ เรารู้ว่า $x + 5 = \left| {x + 5} \right|$. หรือถ้าเอาอสมการสองเท่าข้างบนที่เรามี
$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$ $\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\left| {x + 5} \right| < 10\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}K = 10$
เลยจัดให้ $\left| {x - 4} \right| < 1$ เราจะเห็นว่า $\left| {x + 5} \right| < 10$ ซึ่งจะทำให้เรา
$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K} = \frac{\varepsilon }{{10}}$
เราไปจากอสมการสองเท่านี้ได้อย่างไร $8 < x + 5 < 10$ สำหรับสิ่งนี้ $8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$. จากสิ่งที่ฉันเข้าใจ$|{x + 5}| < 10 $ ยังสามารถเขียนเป็นไฟล์ $-10<x + 5<10$จากนั้นคำสั่งของผู้เขียน:
$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$
ไม่ควรเป็นจริงเนื่องจากไม่รวมส่วนหนึ่งของช่วงเวลานั้น $|{x + 5}| < 10 $ รวมถึง (ช่วงเวลาที่สามารถเห็นได้เมื่อความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์ถูกขยายเป็นอสมการคู่คือ $-10<x + 5<10$)
คำตอบ
คุณกำลังทำงานกับสมมติฐาน $|x-4|<1$, นั่นหมายความว่า $3<x<5$. ดังนั้น$x+5=|x+5|$ เพราะ $x+5$ เป็นบวกเสมอเมื่อ $x \in (3,5)$.
คุณมี $$ |x+5|=|x-4+9|\leq|x-4|+9\leq\delta+9 $$ ดังนั้น $$ |x-4||x+5|\leq\delta(\delta+9)<\varepsilon $$ และคุณจะเห็นว่าคุณสามารถเลือกได้ $$ 0<\delta<\frac{9}{2} \left(\sqrt{1+\frac{4\varepsilon}{81}}-1\right). $$